Системы с одной степенью свободы

Как и в § 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при q =0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях.

1. Затухающие колебания. Пусть на точки системы, когда она выведена из равновесного положения, кроме потенциальных сил начинают действовать еще силы вязкого сопротивления (диссипативные силы)

Тогда обобщенную диссипативную силу QД можно найти по формуле (109) из § 143 и преобразовать окончательно [подобно тому, как это сделано в § 148 при получении равенства (132)] к виду

(138)

Теперь, составляя уравнение Лагранжа

(139)

и заменяя в нем Т, П и QД их значениями (132), (133), (138), получим окончательно следующее дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы:
(140)

где обозначено

(140’)

Уравнение (140) совпадает с уравнением (76) из § 95. Следовательно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы имеют место все результаты, полученные в § 95 для точки. Таким образом:

а) при система совершает затухающие колебания с частотой

и периодом

б) при система совершает не колебательное движение. Закон движения системы дают во всех случаях уравнения, полученные в § 95, если в них заменить х на q. Общие свойства этих движений аналогичны отмеченным в § 148.

2. Вынужденные колебания. Пусть на точки механической системы, рассмотренной в п. 1, действуют еще возмущающие силы, изменяющиеся со временем по закону Тогда, по аналогии с тем путем, который указан в п. 1 для определения QД, можно найти обобщенную возмущающую силу

(141)

В итоге в правой части уравнения Лагранжа (139) добавится еще сила Qв и из него окончательно получится следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

где (142)

остальные обозначения указаны в равенствах (140').

Уравнение (142) совпадает с уравнением (91) из § 96. Следовательно, все результаты, полученные в § 96 для точки, имеют место и для малых колебаний системы с одной степенью свободы, а с) ответствующие уравнения будут определять закон движения системы, если в них заменить х на q. Это относится и к результатам, полученным в § 96 для случая отсутствия сопротивления (b=0), и ко всем рассмотренным в § 96 свойствам вынужденных колебаний. В частности, резонанс при малом сопротивлении будет тоже иметь место, когда