Степенями свободы

Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы. Пусть положение системы определяется обобщенными координатами q1 q2 и при q1 = q 2=0 система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую

и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

(143)

(144)

где инерционные коэффициенты а11, а12, а22 и квазиупругие коэффициенты c11, c12, c22 —величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Лаграижа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы

(145)

Будем искать решение уравнений (145) в виде:

(146)

где A, B, k, a — постоянные величины. Подставив эти значения q1, q2 в уравнения (145) и сократив на sin (kt+a), получим

(147)

Чтобы уравнения (147) давали для А и В решения, отличные от нуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при А к В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

(148)

Отсюда для определения получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот:

(149)

Корни и этого уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что иначе и не будут вещественны и уравнения (145) не будут иметь решений вида (146), чего для системы, находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения q1 = q2 = 0).

Определив из (149) k1 и k2, найдет две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно (148) В=пА, эти решения будут:

(150)

(151)

где и — значения, которые п получает из (148) при и соответственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты и — собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой й-, (всегда меньшей) называют первым главным колебанием, а с частотой — вторым главным колебанием. Числа пг и п.,, определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. ) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

(152)

Равенства (152), содержащие четыре произвольных' постоянных , , , определяемых по начальным условиям, дают общее решение уравнений (145) и определяют закон малых колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами и и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если ) и колебание будет гармоническим.

Собственные частоты , и коэффициенты формы , не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты этого и предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем, отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может возникать дважды: при и (р — частота возмущающей силы). Наконец, отметим, что колебания системы с s степенями свободы будут

слагаться из s колебаний с частота-

ми , ,..., , которые должны определяться из уравнения степени

s относительно . Это связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые можно с помощью электронных вы- числительных (или аналоговых) машин.

Задача 185. Определить собственные частоты и коэффициенты формы малых колебаний двойного физического маятника, образованного стержнями 1 и 2 одинаковой массы т и длины (рис. 374, а).

Решение. Выберем в качестве обобщенных координат малые углы и .Тогда где , и при требуемой точности подсчетов, В итоге

Далее или, полагая

Из равенств (а) и (б) видно, каковы здесь значения а11, а12, а22, с11 и с22 (c12=0). При этих значениях коэффициентов уравнение частот (149) примет вид

Его корнями будут: откуда

Подставляя теперь в любое из отношений, стоящих в левой части равенства (148), сначала а затем , получим

Таким образом, при первом главном колебании оба стержня будут в каждый момент времени отклонены от вертикали в одну и-ту же сторону (рис. 374, а) и , а при втором главном колебании — в разные стороны (рис. 374, б)