Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

116. Решить задачи:

1) На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.

2) На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

3) Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным.

4) Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.

5) В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из неё извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный.

6) Из урны, содержащей 5 белых и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад шар из второй урны окажется белым.

7) Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

8) В условиях задачи 3 найти вероятность того, что изделие, оказавшееся бракованным, изготовлено на станке первого типа.

9) Упаковка сосисок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля брака среди продукции, произведённой первым автоматом, равна 5%, вторыми автоматом – 7%. Наугад взятая упаковка оказалась бракованной. Найти вероятность того, что сосиски были упакованы на первом автомате.

10) Из изделий высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течении года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший телевизор собран из деталей высокого качества.

11) В магазин поступила партия из 20 пар мужских туфель и 25 пар женских. В среднем 12% мужских туфель и 6% женских имеют различные дефекты отделки. Наугад выбрали одну пару, которая оказалась с дефектами отделки. Какова вероятность того, что это мужские туфли.

12) Два специалиста производят контроль качества изделий. Равновероятно, что изделие попадет к любому их них. Первый специалист выявляет дефект с вероятностью 0,7, второй – 0,9. Взятое наугад изделие, успешно прошедшее контроль, оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку совершил первый специалист.

13) Три сестры: Даша, Маша, Наташа – моют посуду после ужина. Старшая сестра Маша моет посуду в половине всех случаев, Даша и Наташа – в четверти каждая. Если посуду моет Маша, то вероятность того, что посуда будет разбита – 0,02. Если это делает Даша, то вероятность – 0,03. Для Наташи эта вероятность равна 0,04. Раздался звон разбиваемой посуды. Найти вероятность того, что на кухне хозяйничала Наташа.

14) Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Какова вероятность того, что наугад взятый человек, оказавшийся дальтоником – мужчина?

15) Пассажир приобретает билет в одной из двух касс. Вероятность его обращения в первую кассу равна 0,4, а на вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира все билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир приобрёл билет. В какой кассе он его купил вероятнее всего?

16) В группе из 20 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 4 отличника, 7 подготовленных хорошо и 9 – удовлетворительно. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15. Вызванный наудачу студент ответил на два вопроса. Найти вероятность того, что они подготовлен: а) хорошо; б) отлично; в) удовлетворительно.

17) Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, сто это изделие проверял второй товаровед.