2015-06-10
1942
При практическом применении теории вероятностей часто приходиться встречаться с задачами, в которых в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно.
Определение 4.1. Последовательные испытания – это последовательное проведение 
раз одного и того же опыта или одновременное проведение одинаковых опытов.
Определение 4.2. Говорят, что последовательные испытания удовлетворяют схеме Бернулли, если выполняются следующие условия:
- при каждом испытании различают лишь два исхода: событие А произошло или произошло его отрицание
(то есть событие А не произошло); - все испытания являются независимыми, то есть вероятность появления события А в k-ом испытании не зависит от исходов ни одного из испытаний до k-го;
- вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна
(вероятность неудачи при этом 
).
Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при испытаниях событие А произошло ровно k раз и, следовательно, не произошло n-k раз. Искомую вероятность обозначают 
. Поставленную задачу решает так называемая формула Бернулли.
|
|
|
Теорема 4.1 (Формулы Бернулли). Пусть реализуется схема Бернулли. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, равна
 .
| (4.1) |
Вероятность того, что из n испытаний по схеме Бернулли событие А произойдет не менее l раз и не более m раз, равна
 .
| (4.2) |
Вероятность того, что из n испытаний по схеме Бернулли событие А произойдет хотя бы один раз, равна
 .
| (4.3) |
Пример 4.1. Оптовая база снабжает 5 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,3 независимо от заявок других магазинов. Найти вероятность того, что в день 1) поступит три заявки; 2) не менее трех заявок; 3) хотя бы одна заявка.
Решение. Поступление или не поступление заявки можно рассматривать как одно испытание по схеме Бернулли, здесь 
. Вероятность успеха (поступления заявки) 
, вероятность неудачи 
. Искомые вероятности вычислим, используя формулы Бернулли.
1. Используя формулу (4.1), получаем
.
2. По формуле (4.2):
.
3. По формуле (4.3):
.
Определение 4.3. Число 
наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.
Теорема 4.2. Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами 
и 
. При этом
1. если число – дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;
2. если число – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: и 
;
3. если число 
– целое, то наивероятнейшее число 
.
Пример 4.2. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержит испытание.
|
|
|
Решение. Из условия задачи: 
. Из теоремы 4.2. найдем наивероятнейшее число . 
, 
. Так как – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число , заключенное между числами 13,5 и 14,4 и это число – 14. Таким образом, 
.
