Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение 3.4. Набор событий называется полной группой событий, если они попарно не пересекаются и их объединение есть достоверное событие: .

Теорема 3.4 (Формула полной вероятности). Пусть , – полная группа событий, и , тогда вероятность события А, которое может наступить лишь при выполнении одной из гипотез , равна

(3.6)

Теорема 3.5 (Формула Байеса). Пусть даны полная группа событий и некоторое событие А, которое может наступить лишь при появлении одной из гипотез . Тогда для любого условная вероятность события при условии, что событие А произошло, может быть вычислена по формуле

(3.7)

Пример 3.6. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Введем обозначения: событие A – извлечен белый шар. Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:

- нет белых шаров;

- один белый шар;

- два белых шара.

Данные гипотезы образуют полную группу, поэтому в силу теоремы 3.4 имеем:

Так как по условию все гипотезы равновероятны и , то

Вычислим теперь условные вероятности.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара,

Окончательно получаем

Пример 3.7. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат дает 0,3% брака, второй – 1,5%. Наудачу берется деталь на проверку. Она оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом?

Решение. Введем обозначения: событие A – деталь оказалась бракованной. Можно выдвинуть следующие гипотезы:

- деталь изготовлена первым автоматом;

- деталь изготовлена вторым автоматом.

Так как первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй, то

, .