Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств

Во многих практических задачах априори ясно, что некоторые случайные события в эксперименте независимы. Естественно требовать, чтобы эти же события были независимы и в математической модели, описывающей данный эксперимент. Определение независимости в теории вероятностей имеет аналитический характер и, следовательно, требование независимости событий в модели, приводит к ограничениям на используемую вероятность. Эти ограничения вместе с дополнительными качественными (симметричность) или количественными требованиями часто позволяют однозначно определить подходящую вероятность.

Рассмотрим, например, эксперимент, описываемый элементарным исходом вида

где первая координата описывает одну случайную компоненту, а вторая другую случайную компоненту опыта.

Если предположить N₁ вариантов у первой компоненты и N₂ – у второй, то для того, чтобы задать вероятность, необходимо в общем случае N_1*N₂ –1 вероятностей элементарных исходов (столько, сколько всего пар минус одна – мы знаем, что сумма всех вероятностей пар должна быть равна 1).

Если заранее известно, что компоненты независимы, то количество вероятностей событий, которые мы должны задать, чтобы однозначно определить вероятность, уменьшается до N₁ +N₂ –2 (N₁ –1 на первую и N₂ –1 на вторую компоненту). Далее, вероятность элементарного исхода определяется как произведение вероятностей значений его компонент.

Подобный прием мы использовали при построении моделей для схемы Бернулли и мультиномиальной схемы.

В общем случае пусть элементарный исход некоторого эксперимента представляется в виде вектора с n координатами.

Пусть известно, что координаты вектора описывают независимые компоненты, т.е. все события вида

должны быть независимы. Тогда, если для описания i-той компоненты использовать вероятностное пространство

с соответствующими распределениями

то для описания всего эксперимента естественно использовать следующее вероятностное пространство

где

т.е.

т.е.

минимальная сигма-алгебра, содержащая все события, описывающие поведение компонент.

Распределение в результирующем пространстве определяется по формуле

Так построенное вероятностное пространство называется произведением вероятностных пространств

а его составляющие, соответственно, произведениями пространств элементарных исходов, произведением сигма-алгебр и произведением вероятностных мер.