Нормальное (гауссовское) распределение

Рассмотрим положительную функцию

Докажите это, переходя к полярным координатам в интеграле , который, очевидно, равен квадрату исходного.

Так как то функция

является плотностью и задает так называемое стандартное нормальное (гауссовское) распределение.

График этой плотности приведен на рисунке

Общее нормальное распределение задается плотностью

где

параметры распределения.

Покажите, что если ,то

Нормальное распределение обладает большим количеством замечательных свойств, многие из которых мы рассмотрим в дальнейшем. Это распределение использовал Гаусс Карл Фридрих в модели случайных ошибок измерения. Случайная величина, имеющая нормальное распределение, называется нормальная или гауссовская случайная величина. Для этого распределения используют обозначение

.

Графики плотности