Экспоненциальное (показательное) распределение

Рассмотрим плотность

где

параметр распределения. Распределение с такой плотностью называется экспоненциальное или показательное распределение. Приведем график плотности этого распределения при

Для доказательства достаточно воспользоваться формулой условной вероятности. Можно показать, что экспоненциальное распределение это единственное распределение, из распределений имеющих плотность, с таким свойством.

Экспоненциальное распределение применяется при моделировании различных временных интервалов - времени жизни технических устройств, интервалов между моментами регистрации радиоактивных частиц датчиками радиации, интервалов между последовательными звонками в телефонной сети и т.п. Это распределение обладает замечательным свойством, которое называется отсутствие последействия. Именно, если имеет экспоненциальное распределение, то

Покажите, что, если ,то

С точки зрения теории надежности это распределение описывает нестареющий элемент, т.е. в любой момент времени элемент имеет то же распределение остаточного времени жизни, что и новый элемент. Случайная величина, имеющая такое распределение называется экспоненциальная или показательная случайная величина. Это распределение обозначается