Теорема сложения несовместных событий

Р(A+B)=Р(A)+Р(B),

где А, В - несовместные события.

Следствие 1. , где А_i, i=1,..., n – попарно-несовместные события.

Следствие 2. Если A₁ ,A₂ ..., A_n полная группа событий, то

.

Следствие 3. Если А и противоположные события, то

Р(А)+Р()=1

Следствие (из теорем сложения и умножения). Вероятность появления хотя бы одного из событий , i =1,..., n, независимых в совокупности

Р(А)=1 – .

Если Р() =q, то Р(А)=1 – qⁿ.

Пример. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А₁– первый взятый учебник в переплете;

A₂– второй взятый учебник в переплете.

Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит от наступления события А₁. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:

.

Вероятность наступления события А₁ p(A₁) в соответствии с классическим определением вероятности:

P(A₁) = = 0,5.

Вероятность наступления события А₂ определяется условной вероятностью наступления события А₂ при условии наступления события А₁, т.е.

= =0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события:

P(A)=0,5 0,4=0,2.

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) в мишень попадет только один стрелок;

б) мишень будет поражена.

Решение:

а) Пусть событие А - в мишень попадет только один стрелок. Введем события: - в мишень попадет первый стрелок; - в мишень попадет второй стрелок. Согласно условию: ; .

Заметим, что событие А означает следующее: в мишень попадет только первый стрелок (то есть первый попадет и второй не попадет) или в мишень попадет только второй стрелок (то есть второй попадет и первый не попадет). Тогда . События и несовместны, так как имеют множители, являющиеся противоположными событиями. Значит, к ним применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий. События и независимы, значит, наступление не изменяет вероятности . Из этого следует, что и ненаступление (то есть наступление ) не меняет вероятности . Значит, независимы и , и , и к этим парам событий применима теорема умножения независимых событий. Учитывая, что , имеем:

=

=0,9(1-0,8)+(1-0,9)0,8=0,9 0,2+0,1 0,8=0,18+0,08=0,26.

б) Пусть событие В - мишень будет поражена. Это произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только первый, или только второй, или оба (и первый, и второй). Значит . Рассуждая аналогично пункту а), имеем:

Найти вероятность события В можно, используя теорему сложения совместных событий и . Согласно определению суммы событий .

=

= 0,9+0,8-0,9 0,8 = 1,7- 0,72 = 0,98.

Найти вероятность события В можно, используя подход “от противного”. Событием, противоположным к В, является событие - ни один стрелок не попадет в мишень. Тогда имеем: