Теорема о перемножении шансов

Т1. Пусть имеется , () групп элементов, причем -я группа содержит элементов, . Выберем из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется

Представим результат выбора, описанного в теореме 1, в виде набора , в котором — выбранный из -й группы элемент. Тогда общее число различных наборов также равняется .

► Занумеруем элементы -й группы числами от 1 до . Элемент из первой группы можно выбрать способами. Если мы выбрали элемент , , то выбрать элемент из второй группы мы можем способами. Получаем, что с первым элементом возможно составить пар , где .

Но столько же пар можно составить и с любым другим элементом первой группы. Тогда всего пар, в которых первый элемент выбран из первой группы, а второй — из второй, существует ровно .

Иначе говоря, есть способов выбрать по одному элементу из первых двух групп. Возьмем одну такую пару . Заметим, что элемент из третьей группы можно выбрать способами, то есть возможно составить ровно троек , добавляя к данной паре любой из элементов третьей группы.

Но столько же троек можно составить и с любой другой парой . Тогда всего троек, в которых первый элемент выбран из первой группы, второй — из второй, а третий — из третьей, существует ровно .