Урновая схема 3: выбор с возвращением и с учетом порядка

Т. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и с учетом порядка определяется формулой

. (6)

¨ Первый шарик можно выбрать способами. При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать также способами, и так раз. ¨

Таким образом, размещениями с повторениями называются комбинации из элементов по элементов, отличающиеся составом и порядком их расположения.

. (7)

Пример 5. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1- 4? §Так как повторения цифр в числе возможны, то производим выборку с возвращением. Двузначные числа представляют собой комбинации из элементов по элементов. Следовательно, согласно формуле (7) искомое количество чисел определяется числом размещений

.

Это числа: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. §

Опр. Размещением данного состава из элементов - членного множества называется всякая строка длинной , составленная из элементов множества , так, что элемент повторяется раз, элемент – раз и т.д., элемент – раз.

Например, если , то есть размещение состава (3,2,0).

Количество различных размещений заданного состава называется числом перестановок с повторениями и равно:

. (8)

Пример 6. Сколькими способами можно поставить на книжной полке 3 экземпляра учебника по алгебре, 2 экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по математическому анализу?

§ Очевидно, всякой расстановке указанных учебников взаимно однозначно соответствует строка длиной состава . Следовательно, искомое число способов равно числу размещений с повторениями: . §