Урновая схема 4: выбор с возвращением и без учета порядка

Т. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний с повторениями.

Без доказательства.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила:

Правило суммы:

Если объект может быть выбран способами, - способами, то или , или может быть выбран способами.

Правило произведения:

Если объект может быть выбран способами, и после каждого такого выбора объект – может быть выбран способами, то пара в указанном порядке (!) может быть выбрана способами. То же справедливо и для нескольких выбираемых объектов.

Пример 7. Сколькими способами можно составить четырехзначное число, все цифры которого различны?

§ Каждому четырехзначному числу можно поставить во взаимно однозначное соответствие строку , где – соответственно 1, 2, 3 и 4-я цифры. Элемент этой строки можно выбрать 9 способами (любую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); элемент можно выбрать также 9 способами (теперь можно использовать и цифру 0, но первую выбранную цифру повторить нельзя); элемент можно выбрать 8 способами (уже выбранные первые две цифры повторить нельзя); наконец, элемент можно выбрать 7 способами. Выборка производится с учетом порядка. Согласно правилу произведения искомое число способов выбора четырехзначного числа с различными цифрами равно: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536. §

Пример 8. Из 10-и гвоздик и 6-и тюльпанов составляются букеты, каждый из которых должен содержать 3 гвоздики и 2 тюльпана. Сколько можно составить различных букетов?

§ Производится выборка без возвращения и без учета порядка. Из шестнадцати элементов (цветов) необходимо выбрать пять, причем три из них должны быть гвоздиками, а два – тюльпанами. Три гвоздики мы выбираем способами, а два тюльпана - способами. Следовательно, искомое количество различных букетов равно

∙ . §