Л-17. Сглаживание экспериментальных зависимостей

При обработке опытных данных часто приходится решать задачу, в которой необходимо установить или исследовать функциональную зависимость одной величины от другой на основании полученных данных.

Пусть производится опыт с целью исследования зависимости величины от величины , которая в общем случае может быть записана в виде

Требуется установить вид этой зависимости на основании опытных данных.

Предположим, что в результате опыта получен набор точек и построен обобщенный график зависимости, т.е. линия, построенная не точно по точкам , а линия, сглаживающая разброс точек, который связан со случайными ошибками измерений. Задача заключается в такой обработке данных, при которой по возможности точно была бы отражена тенденция зависимости от и возможно полнее исключено влияние случайных, незакономерных уклонений, связанных с погрешностями опыта. Такая задача называется задачей сглаживания экспериментальной зависимости, т.е. изображения опытной функциональной зависимости аналитической формулой.

При решении такой задачи в случае, когда вид зависимости до опыта известен, обычно применяется расчетный метод – метод наименьших квадратов.

Суть метода:

Пусть получено экспериментальных точек с абсциссами и ординатами .

Зависимость от , изображаемая аналитической функцией

(1)

не может совпадать с экспериментальными значениями во всех точках. Это означает, что для всех или некоторых точек разность

(2)

будет отлична от нуля.

Требуется подобрать параметры функции (1) таким образом, чтобы сумма квадратов разностей (2) была наименьшей, т.е. требуется обратить в минимум выражение

(3)

Таким образом, по методу наименьших квадратов приближенное значение аналитической функции к экспериментальной зависимости считается наилучшим, если выполняется условие минимума суммы квадратов отклонений искомой аналитической функции от экспериментальной зависимости.

Следует заметить, что выражение (3) представляет собой полином второй степени относительно неизвестных параметров (причем неизвестные параметры в зависимость входят линейно), который не может принимать отрицательных значений. Поэтому существуют такие значения неизвестных параметров, при которых функция (3) достигает минимума, и этот минимум в зависимости от значений и будет положительным или равным нулю.

Так как неизвестные параметры в зависимость входят линейно, будем искать эту зависимость в виде

, (4)

где - известные функции, а - неизвестные параметры.

Исходя из принципа наименьших квадратов, мы должны подобрать такие значения неизвестных параметров , при которых обращается в минимум выражение

(5)

Это выражение является функцией неизвестных параметров , поэтому для отыскания минимума функции нужно согласно правилам дифференциального исчисления найти частные производные функции по всем параметрам и приравнять их к нулю:

(7)

Подставляя в систему опытные значения и , получим систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , решение которой может быть получено с помощью определителей или методом Гаусса.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов, когда для изображения экспериментальной зависимости выбрана парабола

Пусть в результате независимых опытов получено значений величины :

соответствующих значениям величины

Для определения неизвестных параметров и методом наименьших квадратов составляем сумму квадратов отклонений искомой аналитической функции от наблюдаемых значений в данных точках