Закон Пуассона

ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. P_m = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с пар-ом распр. λ, где λ=np. В отличие от биномиального распр. здесь СВ может принимать бесконечное мн-во знач., представляющ. собой бесконечн. посл-сть целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной ср. интенсивностью, кот. хар-ся параметром λ=np. Ряд распр. закона Пуассона имеет вид:

Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию e^x можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому e^λ = = 1+ λ + λ²/2! + …+ λ^m/m! +… Тогда = e^—λ = e^—λ e^λ =1. Найдем м.о. и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = =λe^λ = λe^—λ e^λ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X²) – (M(X))². M(X²) = = e^—λ = e^—λ = λ² e^—λ + λ e^—λ = λ² e^—λ e^λ + λ e^—λ e^λ = λ² +λ. Тогда D(X) = λ² +λ — λ² = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распр. λ.