Вопрос 28. Если случ вел Х имеет М(х) и r(x), то для любого

Неравенство Чебышева

Если случ вел Х имеет М(х) и r(x), то для любого

e>0 справедливо рав-во

P(|x-M(x)|< e) 1-(r(x))/ e^2 (3)

Нер-во |x-M(x)|<e<=>(x-M(x))^2< e^2 y=(x-M(x))^2

y 0-новая случ. вел-на. M(y)=M(x-M(x))^2=r(x), применяя к у нер-во(1) для a= e^2, получаем

Р(У< e^2) 1-(r(x))/ e^2. Но нер-во y< e^2<=>|x-M(x)|<e,то сразу получаем нер-во (3).

Поскольку соб-е |х-М(х)| e противоположно соб-ю |x-M(x)|<e, то P(|x-M(x)| e) (r(x))/ e^2 (4)

Нер-ва (3) и (4) служат для решения задач о Р отклониния сл. вел-ны с несущественным з-ном распред-я и известными М(Х) и r(x)

Первое неравенство Чебышева. Если СВ X ³ 0 имеет конечное значение m = M[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{X ³ e} £ m/e или P{X < e} > 1 - m/e.

Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как

Тогда P{X ³ e} £ m/e, что и требовалось показать.

Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения m = M[X] и s² = D[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{ôX - mô ³ e} £ s²/e² или P{ôX - mô < e} > 1 - s²/e².