Тензор скорости деформации

Теория деформированного состояния.

В общем случае движение твердого недеформируемого тела можно представить суммой поступательного и вращательного движений. Если же тело ещё и деформируется, то движение будет более сложным. Из него можно выделить поступательное и вращательное движения, считая их переносными, а остальное – относительное движение – будет обусловлено только деформацией тела.

Тензор скорости деформации.

Пусть деформируемое тело в некоторый момент имело объем V и было ограничено поверхностью S. Внутри тела имеет место движение частиц. Это движение представлено векторным полем скорости .

Рассмотрим точку М деформируемого тела вместе с её окрестностью. Положение точки М в трехмерном пространстве задается радиусом вектором , компоненты (проекции) которого х, у, z.. Бесконечно малая окрестность окружает точку М. Положение произвольной точки М₁ в этой окрестности задается дополнительным вектором , с компонентами х, у, z.

Пусть точка М как точка деформируемого тела имеет в данный момент скорость движения с компонентами вдоль осей координат v_x, v_y, v_z. Скорость точки М₁ из области, окружающей точку М, будет отличаться от скорости точки М на величину , компоненты которой определяются соотношениями

(2. 1)

Коэффициенты при компонентах вектора в уравнениях (2.1) образуют так называемый тензор абсолютной производной векторного поля

(2.2)

Этот тензор может быть представлены в виде суммы

(2.3)

Здесь - тензор вращения с компонентами (элементами матрицы)

, (2.4)

а - тензор скорости деформации с компонентами (элементами матрицы)

(2.5)

Таким образом движение окрестности точки М сплошной среды состоит из: чистой деформации, определяемой тензором скорости деформации с компонентами (2.5); вращения области относительно точки М, определяемого тензором вращения с компонентами (2.4) и поступательного движения, определяемого вектором скорости точки М.

Компоненты тензора скорости деформации в развернутой форме имеет вид

(2.6)

(2.7)

и называются: (2.6) – скоростями удлинения в направлении осей соответственно Х,У,Z, а удвоенные (2.7) – скоростями сдвига в плоскостях соответственно ХОУ, УОZ, ZОХ.

Уравнения (2.6) и (2.7) называются геометрическими или кинематическими соотношениями связи скоростей течения и компонентов тензора скорости деформации.

Тензор скорости деформации имеет вид

(2.8)