Инварианты тензора напряжения
Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются площадками главных нормальных напряжений s11, s22, s33. Индексы при последних назначаются по правилу
т.е. индекс "1" присваивается большему, а "3" – меньшему из значений.
Тензор напряжений, записанный в ортогональной системе координат, совпадающей с направлениями главных напряжений, имеет вид
(1.3)
Это означает, что напряженное состояние в любой точке деформируемого тела вызвано чистым растяжением или сжатием по трем взаимно перпендикулярным главным направлениям.
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
(1.4)
Коэффициенты , , этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. В произвольной ортогональной системе координат и ортогональной системе координат, совпадающей с направлениями главных нормальных напряжений они имеют вид
(1.5)
Величина, составленная из первого инварианта
(1.6)
называется средним (или гидростатическим) давлением в точке и имеет большое значение в теории пластичности и теории ОМД. В тензорной форме она записывается так:
Девиатор тензора напряжения и его инварианты
Так как материалы обладают, как правило, различными механическими свойствами по отношению к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, целесообразно представить тензор напряжения в виде суммы двух тензоров
(1.7)
Здесь s × Е – так называемый шаровой тензор, соответствующий среднему давлению в некоторой точке деформируемого тела и отвечающий за изменение его объема.
, (Е - единичный тензор)
а – тензор, характеризующий касательные напряжения в той же точке, называется девиатором напряжения и отвечает за изменение формы. Он характеризует насколько заданное напряженное состояние отличается от всестороннего равного растяжения или сжатия с главными напряжениями равными s.
Главные направления девиатора напряжения и тензора напряжения Тs совпадают, а главные значения S11, S22, S33 отличаются от s11, б22, s33 на величину среднего давления s.
Компоненты девиатора будем обозначать через Sij. Тогда компоненты тензора Тs можно представить через компоненты девиатора и шарового тензора s × Е так:
(1.8)
Инварианты девиатора напряжения имеют вид:
(1.9)
Большую роль в теории пластичности играет второй инвариант. Неотрицательную величину
(1.10)
называют интенсивностью касательных напряжений. В главных напряжениях она имеет вид
(1.11)
В тензорной форме она запишется так
(1.12)
Интенсивность касательных напряжений обращается в нуль, когда напряженное состояние является состоянием гидростатического давления
Для чистого сдвига
; ;
Здесь t – напряжение чистого сдвига. Следовательно
В случае одноосного растяжения (сжатия) в направлении, например, оси Х
; ;
Тогда
(1.13)