Круг Мора для объемного напряженного состояния

Обратная задача.

Прямая задача

Аналитическое решение прямой задачи определяется формулами (4.6) – (4.9).

Для графического решения строится на плоскости в координатах s-t круг Мора

(рис. 4.9) в следующей последовательности.

Рис. 4.9

Выбирается прямоугольная система координат так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из главных напряжений s₁, по этой оси в выбранном масштабе откладывются отрезки ОА и ОВ, численно равные напряжениям s₁ и s₂, а на их разности (на отрезке АВ) как на диаметре проводим окружность с центром в точке С.

Из крайней левой точки (В) круга проводим луч, параллельный внешней нормали к рассматриваемой площадке, т.е. под углом a к оси s. Точка пересечения этого луча с окружностью (D_a) имеет своими координатами отрезки D_aK_a и OK_a, численно равные касательному t_a и нормальному s_a напряжениям, действующим на рассматриваемой площадке.

Из рис.4.9 следует: AC=BC=CD_α=, СК_α=СК_β =СD_αcos2α =cos2α

Точка D_b, лежащая на противоположном конце диаметра от точки D_a, характеризует напряжения s_β и t_b, действующие по наклонной площадке, перпендикулярной к первой.

Выполненные преобразования проведены с учетом, что 1+cos2α = 2cos²α., 1-cos2α = 2sin²α.

Полученные выражения для s_a, s_b, τ_α и τ_β полностью совпадают с аналитическими формулами (4.6) - (4.9).

В заключение следует отметить, что каждая точка круга Мора имеет своими координатами напряжения, действующие на соответствующей площадке, следовательно, зная главные напряжения для плоского напряженного состояния, можно с помощью круга Мора определить напряжения, действующие на различных площадках, проходящих через данную точку. Максимальное касательное напряжение соответствует точке D_c и равно радиусу круга.

Довольно часто приходится решать обратную задачу, т. е. по напряжениям на произвольных площадках s_a, t_a, s_b, t_b определять величину и направление главных напряжений. Проще эта задача решается графически, т. е. с помощью круга Мора (рис. 4.10). Рассмотрим порядок его построения.

Прямоугольную систему координат s, t выберем так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s_a > s_b). На оси s отложим в выбранном масштабе отрезки ОК_a, ОК_b, численно равные s_a и s_b. Из точек К_a и К_b проведем перпендикуляры К_aD_a, К_bD_b, которые численно равны соответственноt_a и τ_β (К_aD_a = t_a, К_bD_b = τ_β = - t_a). На отрезке D_aD_b, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осью s обозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s₁, ОВ=s₂ – главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

Рис. 4.10

параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s_a > s_b). На оси s отложим в выбранном масштабе отрезки ОК_a, ОК_b, численно равные s_a и s_b. Из точек К_a и К_b проведем перпендикуляры К_aD_a, К_bD_b, которые численно равны соответственноt_a и τ_β (К_aD_a = t_a, К_bD_b = τ_β = - t_a). На отрезке D_aD_b, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осью s обозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s₁, ОВ=s₂ – главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

Из рис.6.10 определим радиус круга R и величину отрезка ОС (4.12)

(4.13)

C учетом выражений (4.12), (4.13) получим следующие формулы для главных напряжений

ОА= σ_I = ОС + R = + (4.14)

ОВ = σ_II = ОС – R = - (4.15)

Или (4.16)

Для определения направления главного напряжения s₁ проведем луч через крайнюю левую точку круга В и точку D_a¢, которая симметрична точке D_a относительно оси s. Направление луча ВD_a¢ совпадает с направлением s₁, направление s₂ перпендикулярно ему. Угол a₀ определится из треугольника ВК_aD_a¢ (рис. 6.10):

(4.17)

Угол a₀ считается положительным, если его откладывают от оси s против часовой стрелки.

4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии

В элементарном параллелепипеде, по граням которого действуют все три главных напряжения, рассмотрим произвольную площадку a, нормаль к которой составляет с координатными осями 1,2,3 углы α₁ α₂ α₃.(рис. 4. 11). На этой площадке будет действовать полное напряжение р_α, составляющее с нормалью n угол α. Определим его проекции на нормаль к площадке - σ_α и на саму площадку – τ_α.

Рис.4.11

Нормальное напряжение, исполь-зуя принцип суперпозиции, можно пред-ставить выражением =,

где- напряжение на рассматриваемой площадке, вызванное действием , а ,- соответственно от напряжений и.Для вычисления этих величин воспользуемся формулой для линейного напряжённого состояния: =, =, =.

С учетом этих значений нормальные напряжения на произвольной площадке определятся равенством

(4.18)

Для вывода формулы касательных напряжений τ_α следует рассмотреть его векторную величину . Так как , то .

Опуская выводы, которые следуют из уравнений равновесия рассматриваемой трёх- гранной пирамиды (рис. 3.11), запишем формулу в окончательном виде для вектора полного напряжения на площадке n_α:

.

С учётом этого выражения

(4.19)

В качестве примера рассмотрим напряжения на площадке, равнонаклонённой ко всем главным площадкам. Такая площадка называется октаэдрической, а напряжения, действующие на этой площадке, называются октаэдрическими.

Так как для такой площадки , а учитывая, что всегда

, то . Следовательно (4.20)

(4.21)

Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при объемном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная.

Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

		s2
		s1
	s3

а) б) в)

Рис.4.12

На площадках, параллельных s₁, (рис. 4.12, а), напряжения зависят только от s₂ и s₃ и не зависят от s₁, т. к. , тогда согласно (4.18)

Рис. 4.13.

Круг Мора, соответствующий этому случаю, представлен на рис. 4.13 кругом «а».

Напряжения в семействе площадок, параллельных s₂, определяются по кругу «б», а в семействе площадок, параллельных s₃ – с помощью круга «в».

В теории упругости доказывается, что площадкам общего положения соответствуют точки, лежащие в заштрихованной области (рис. 4.13).

Из представленного рисунка следует, что наименьшее и наибольшее нормальные напряжения равны наименьшему и наибольшему главным напряжениям , .

Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга

и действуют по площадке, равнонаклонённой к площадкам максимального и минимального из главных напряжений ().