Напряженное состояние в точке

В механике твердого деформированного тела различают внешние и внутренние силы. Внешние силы – это силы взаимодействия между отдельными телами. Внутренние силы – это силы взаимодействия между частями одного тела (элемента конструкции). Интенсивность внутренних сил измеряется напряжениями: полным, нормальным и касательным. В методических указаниях приняты следующие обозначения и знаки напряжений.

Нормальное напряжение обозначается буквой s и имеет один индекс, совпадающий с обозначением той оси, параллельно которой направлено напряжение (s_x, s_y, s_z). Нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение.

Касательное напряжение обозначается буквой t и имеет два индекса. Первый индекс совпадает с обозначением оси, параллельно которой направлено напряжение, а второй – совпадает с обозначением оси, которая является нормалью к площадке, где действует напряжение (t_xy, t_yz, t_zx). Касательное напряжение считается положительным, если его направление и направление внешней нормали площадки, к которой оно приложено, одновременно совпадают или одновременно не совпадают с положительными направлениями соответствующих координатных осей.

Напряженное состояние в точке тела полностью определяется тензором напряжений T _s,представляющим собой квадратную матрицу, содержащую напряжения, расположенные в строго определенном порядке.

(1)

В соответствии с законом парности касательных напряжений

t _xy = t _yx; t _yz =t_zy; t _zx = t _xz тензор напряжений всегда симметричная матрица.

Через элементарную площадку, проведенную вблизи точки тела, передается внутренняя сила, характеризуемая полным напряжением p _u, которое может быть разложено на нормальную s_u и касательную

t_u составляющие (рис. 2). Положение наклонной площадки определяется направляющими косинусами ее внешней нормали u

l = cos(x, u); m = cos(y, u); n = cos(z, u). (2)

Из условия равновесия элементарного объема в форме тетраэдра (рис.2) можно получить зависимость проекций полного напряжения и напряжений, действующих на координатных площадках:

p_{x u} = s _xl + t _xym + t _xzn,

p_{y u} = t _yxl +s _ym + t _yzn, (3)

p_{z u} = t _zxl + t _zym + s _zn.

Эти уравнения называют граничными условиями или условиями на поверхности тела, так как их левые части могут рассматриваться и как проекции интенсивности нагрузки, приложенной к поверхности тела. Из курса сопротивления материалов известно, что всегда около некоторой точки тела можно найти три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные принимают экстремальные значения. Такие площадки и нормальные напряжения, действующие на них, называются главными. Если наклонная площадка (рис.2) главная, то t_u = 0, а p _u = s_u. Согласно уравнениям (3) имеем

p_{x u} = p_u l = s_u l = s _xl + t _xym + t _xzn,

p_{y u} = p_u m = s_u m = t _yxl + s _ym + t _yzn, (4)

p_{z u} = p_u n = s_u n = t _zxl + t _zym + s _zn.

Отсюда следует

(s _x- s_u) l + t _xym + t _xzn = 0,

t _yxl + (s _y- s_u) m + t _yzn = 0, (5)

t _zxl + t _zym + (s _z- s_u) n = 0.

Система однородных уравнений (5) имеет нулевое решение (l =0, m =0, n =0, s_u=0). Но условие l ² + m ² + n ² =1 требует, чтобы система имела и ненулевые решения, а это возможно, если определитель будет равен нулю.

(6)

Для удобства записи опустим индекс u_, развернем определитель (6) и получим кубическое уравнение следующего вида

s³ - s^I s² + s^IIs - s^III = 0. (7)

Корни кубического уравнения (7) и являются значениями главных напряжений, которые обозначаются согласно условию

s₁³ s₂ ³ s₃.

Положение главных площадок, то есть их направляющие косинусы определяются решением системы уравнений (5).

Коэффициенты s^I, s^II, s^III кубического уравнения (7) не зависят от выбранной системы координатных осей и называются инвариантами тензора напряжений. Они могут быть выражены через элементы тензора напряжений следующим образом

s^I = s_x + s_y + s_z;

s^II = s_x s_y + s_y s_z + s_z s_x - t_xyt_yx - t_yzt_zy - t_zxt_xz;

s^III = s_x s_y s_z + 2t_xyt_yzt_zx - t_yxs_xt_xy- t_zys_yt_yz- t_xzs_xt_zx. (8)

В теории упругости выделяются еще и другие особенные площадки и напряжения. Площадки, равно наклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими площадками. Около точки тела можно провести восемь октаэдрических площадок, которые вместе образуют объемное тело, называемое октаэдром. Нормальные и касательные напряжения, действующие на этих площадках, являются также инвариантами и называются октаэдрическими напряжениями. Они могут быть выражены через главные напряжения.

, (9)

где s _m – среднее напряжение

(10)

В некоторых случаях при проверке наступления предельного состояния в опасной точке конструкции используется, так называемая, интенсивность напряжения, которая является инвариантой и выражается через октаэдрическое напряжение следующим образом:

. (11)

Л и т е р а т у р а: [1, §1.1, 1.2, §6.1-6.6], [2, §1.1, 1.2, §1.4-1.6, §III-4], [3, §2.01, §2.04-2.07, §2.09], [4, §1.1, §1.3, §1.4].