Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела

Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для первого стрелка:

- для второго стрелка:

- для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна:

Пример.

В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности следующих событий: первый выстрел, вторая осечка; первая осечка, второй выстрел, хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.

Решение.

Вероятность выстрела при первом нажатии на курок в условиях задачи - . Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет выстрел, если первым был выстрел, - , поскольку неизрасходованных патронов осталось 3, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных выстрелов

Вероятность осечки при первом нажатии на курок в условиях задачи равна . Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет осечка, если первой была осечка, - , поскольку пустых гнезд осталось одно, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных осечек .

Найдем вероятность события «осечка, выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок , неиспользованных патронов остается - 4, а всего возможных гнезд – 5, т.о. вероятность выстрела при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок была осечка, - . Тогда вероятность события «осечка, выстрел» - .

Найдем вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии на курок , пустых гнезд остается - 2, а всего гнезд – 5, т.о. вероятность осечки при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок был выстрел, - . Тогда вероятность события «выстрел, осечка» - .

Найдем вероятность хотя бы одного выстрела при двух нажатиях на курок (событие ). Противоположным событием является событие «ни одного выстрела при двух нажатиях на курок», т.е. две осечки. Тогда равна

.

Найдем вероятность события «осечка, выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок , неиспользованных патронов остается - 4, а всего возможных гнезд – 5, т.о. вероятность выстрела при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок была осечка, - . Тогда вероятность события «осечка, выстрел» - .

Найдем вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии на курок , пустых гнезд остается - 2, а всего гнезд – 5, т.о. вероятность осечки при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок был выстрел, - . Тогда вероятность события «выстрел, осечка» - .

- два выстрела подряд

- первая осечка, второй выстрел

- первый выстрел, вторая осечка

- две осечки подряд

Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме или

Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок. Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив бойка может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.

Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - ,

Условная вероятность выстрела при второй попытке - если в первый раз был выстрел, - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - , если в первый раз произошел выстрел, - если была осечка.

Тогда:

- два выстрела подряд

- первая осечка, второй выстрел

- первый выстрел, вторая осечка

- две осечки подряд

В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна

или

«после первого выстрела барабан не раскручивают»

«после первого выстрела барабан раскручивают»

Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных случаев.

Пример.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие .

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна: