Определение. События попарно независимы, если в любой паре события и

События попарно независимы, если в любой паре события и независимы.

Независимость в совокупности и попарная независимость событий – понятия разные.

Пример.

Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань.

Найти вероятности событий: =«на грани есть желтый цвет»; =«на грани есть белый цвет»; =«на грани есть зеленый цвет»;

Решение.

Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. ; аналогично: .

Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , т.е. .

Таким образом,

,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

Теорема. (О появлении хотя бы одного из независимых событий)

Пусть вероятность появления каждого из п событий , независимых в совокупности, равна . Вероятность появления хотя бы одного события, равна

,

Доказательство.

Поскольку по закону Де Моргана ,

То .