Задача №16. Выбор оптимального местоположения склада

С целью обеспечения централизованных поставок товаров нескольким розничным торговым точкам требуется выбрать наиболее подходящее местоположение склада розничной торговой сети.

Сформулируем критерий оптимальности. Можно предположить, что издержки, связанные с поставкой товаров со склада в каждую торговую точку сети, в первую очередь, будут определяться расстоянием между складом и торговой точкой, а, также, величиной потребности точки в товарах. Поэтому, в качестве критерия для выбора оптимального местоположения склада примем функцию издержек Z, зависящую от расстояний между складом и торговыми точками, а также от объемов поставок товаров в эти точки.

Введем следующие обозначения:

- n – число торговых точек;

- d = (d₁, d₂, …, d_n) – вектор расстояний между складом и торговыми точками;

- q = (q₁, q₂, …, q_n) – вектор потребностей торговых точек в товарах (в натуральных или денежных единицах).

Тогда в неявном виде критерий для выбора оптимального места расположения склада может быть представлен следующим образом:

Z = Z (q, d) ® min.

Для того чтобы построить вектор расстояний d, необходимо воспользоваться топографической картой местности, на которую наносятся координаты торговых точек. Затем на карту накладывается декартовая система координат OXY, чтобы таким образом перейти от топографических к относительным координатам (x, y) торговых точек. Тогда каждая торговая точка будет определяться тройкой (x_i, y_i, q_i), i = 1,..,n.

Обозначим через (x₀, y₀) относительные координаты склада – искомые значения. Тогда расстояние между складом и каждой i- ой торговой точкой будет вычисляться следующим образом:

Теперь воспользуемся методом целевого программирования и запишем критерий оптимальности в явном виде:

.

Следовательно, задача заключается в том, чтобы найти такие координаты (x₀, y₀) для местоположения склада, которые обеспечат минимальное суммарное значение полученных для каждой торговой точки величин q_i d_i², i = 1,…, n.

Для решения поставленной задачи необходимо найти частные производные функции Z по аргументам x₀ и y₀, и затем приравнять их к нулю. Имеем: .

Решая данную систему, получаем следующие формулы для нахождения координат склада: .

С физической точки зрения полученные формулы определяют координаты центра тяжести системы n точек, имеющие координаты на плоскости (x_i, y_i) и массы q_i, i = 1,…, n. Поэтому рассмотренный метод выбора оптимального местоположения склада называется методом центра тяжести.

Определить координаты (x₀, y₀) оптимального месторасположения склада для следующих вариантов значений исходных данных: