Метод Ньютона (метод касательных)

вать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

| x_n - x_{n - 1}| <. (2.18)

Пример 2.3.

Применим метод Ньютона для вычисления. где a > 0, p - натуральное число. Вычисление эквивалентно решению уравнения x^p = a. Таким образом, нужно найти корень уравнения f (x) = 0, f (x) = x^p - a, f (x) = px^{p - 1}. Итерационная формула метода (2.13) примет вид:

x _{n +1} = x _n - = x _n +. (2.19)

Используя формулу (2.19), найдем с точностью = 10^-3.

x _{n +1} = x _n +.

Простой корень уравнения x ³ - 7 = 0 расположен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах отрезка [1, 2] функция f (x) = x ³ - 7 принимает разные знаки, f (1) < 0, f (2) > 0. Кроме того, при x = 2 выполнено достаточное условие сходимости (2.16): f (2) f" (2)0.

Поэтому в качестве начального приближения можно взять x ₀ = 2.

Результаты приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3