Дифференциальное уравнение поверхности

Поверхностью уровня, или поверхностью равного давления, называется геометрическое место точек, испытывающих в жидкости одинаковое давление. В каждом частном случае равновесия существует множество поверхностей уровня, одна из которых совпадает со свободной поверхностью жидкости.

По определению, каждая поверхность уровня характеризуется условием

; .

Подставляя это условие в основное уравнение гидростатики (2.10), получим

. (2.11)

Так как массовая плотность не может быть равной нулю, то

. (2.12)

Это и есть уравнение семейства поверхностей уровня в самом общем случае равновесия жидкости. Каждое из трёх слагаемых в левой части этого уравнения можно представить как работу единичной массовой силы на элементарном пути в направлении данной оси координат, а весь трехчлен - как работу результирующей единичных массовых сил на элементарном приращении пути вдоль поверхности уровня. Как видно из (2.12), эта работа оказывается равной нулю. Следовательно, результирующая массовых сил направлена по нормали к поверхности уровня в каждой данной её точке.

Справедливость этого заключения ясна и из чисто логического рассуждения: если бы результирующая сила не была нормальной к поверхности уровня, то существовала бы её тангенциальная составляющая, которая производила бы сдвиг жидкости, а, следовательно, равновесия не существовало бы.

Разумеется, уравнения (2.10) и (2.12) в общем случае интегрированию не поддаются. Их решение зависит от граничных условий каждого частного случая равновесия.