Поверхностные интегралы

2.1. Поверхностный интеграл 1 рода.

2.1.1. Определение поверхностного интеграла 1 рода

Пусть в пространстве Оxyz дана поверхность с площадью и в точках поверхности определена непрерывная функция f(x;y;z). Разобьем поверхность произвольные образом на n элементарных частей , площади которых (i=1,2…,n). Выберем в каждой части произвольную точку M_i (x_i; y_i; z_i), найдем значение функции в этой точке (рис.32).

Рис.32

Составим интегральную сумму: .

Обозначим через λ наибольший из диаметров элементарных областей : , где .

Если существует предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на элементарные части, ни от выбора точек M_i в элементарных частях, то этот предел называют поверхностным интегралом 1 рода от функции f(x;y;z) по поверхности и обозначают:

Физический смысл поверхностного интеграла 1 рода.

Если - поверхность, с поверхностью плотностью , то масса поверхности равна:

2.1.2. Основные свойства поверхностного интеграла 1 рода.

3.Если поверхность разбита на и , такие, что , а пересечение , состоит из границы, их разделяющей, тогда

4. , где – площадь поверхности .

2.1.3. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода.

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычислению двойного интеграла по области (D)-проекции на координатные плоскости.

1.Пусть поверхность задана уравнением z=z(x;y). Тогда

Где (D_xy) – проекция на Оxy. То есть дифференциал вычисляется по формуле .

Отметим, что если поверхность задана уравнением вида y=y(x;z) или x=x(y;z), то соответственно:

, то есть ,

, то есть .

Где (D_xz), (D_yz) - проекции поверхности на соответствующие координатные плоскости.

Пример

Вычислить массу поверхности ,

с поверхностной плотностью .

Решение

Массу поверхности найдем по формуле .

Рассмотрим поверхность – это параболоид вращения со смещенной вершиной (рис.33).

Рис.33

Очевидно, что

Выразим координату z из уравнения поверхности

Так как поверхность задана уравнением z=z(x;y),то дифференциал найдем по формуле . Для этого найдём производные:

, , тогда .

Вычисление поверхностного интеграла сведём к вычислению двойного интеграла, для этого рассмотрим проекцию поверхности в плоскость Oxy. Так как из условия задачи то при получим .

Таким образом, проекцией в плоскости Oxy является часть окружности радиусом 2, где (рис.34).

Рис.34

Для вычисления двойного интеграла перейдём к полярной системе координат.

Вычислим сначала внутренний интеграл

Тогда двойной интеграл равен

2.2Поверхностный интеграл 2 рода.

2.2.1. Определение поверхностного интеграла 2 рода

Пусть в пространстве Oxyz дана двусторонняя поверхность Поверхность называется двусторонней, если после обхода такой поверхности, не пересекая её границы, направление нормали к ней не меняется (т.е. не меняется с внешнего направления на внутреннее и наоборот). Примером двусторонней поверхности является плоскость, эллипсоид, сфера и др. (рис.35).

Рис.35

На двусторонней поверхности выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках поверхности. Поэтому двусторонние поверхности называют также ориентируемыми. Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности.

Пусть в точках поверхности определена непрерывная функция f(x;y;z). Выберем определённую сторону поверхности, т.е. направление нормали. Выбранную сторону поверхности разобьем произвольным образом на n элементарных частей , спроецируем их на координатные плоскости. Обозначаем площадь проекции. В частности - площадь проекции элементарной части на координатную плоскость Oxy.

При этом площадь проекции берем со знаком плюс, если выбрана верхняя (положительная относительно оси Oz) сторона поверхности, т.е. нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол ; со знаком минус, если выбрана нижняя (отрицательная относительно оси Oz) сторона поверхности, т.е. угол нормали с осью Oz тупой (рис.36).

Выберем в каждой части произвольную точку

M_i (x_i; y_i; z_i), найдем значение функции f(x_i; y_i; z_i) в этой точке.

Составим интегральную сумму .

Рис.36

Обозначим через λ наибольший из диаметров элементарных частей : , где .

Если существует предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на элементарные части, ни от выбора точек в каждой элементарной части, то этот предел называют поверхностным интегралом 2 рода относительно координат x, y от функции f(x;y;z) по поверхности и обозначают:

Аналогично определяют поверхностные интегралы 2 рода по переменным y и z; z и x.

, .

Если задано сразу три непрерывные функции , определенные в точках двусторонней поверхности и от этих функций существуют интегралы , , ,

то выражение:

называют поверхностным интегралом 2 рода общего вида и записывают:

Если – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне обозначают , по внутренней .

2.2.2. Основные свойства поверхностного интеграла 2 рода:

1. Поверхностный интеграл 2 рода меняет знак при перемене стороны поверхности .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак поверхностного интеграла 2 рода.

3. Поверхностный интеграл 2 рода от суммы функций равен сумме соответствующих поверхностных интегралов.

4. Поверхностный интеграл 2 рода по всей поверхности , где равен сумме интегралов по её частям , если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если - поверхность, образующие которой параллельны оси Ох, то:

Аналогично, если образующие поверхности параллельны осям Oz, Oy то соответственно:

2.2.3. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.

Вычисление поверхностного интеграла2-го рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Пусть уравнение поверхности z = z(x,y) и пусть нормаль к поверхности образует с осью Оz острый угол,

(в данном случае верхняя, положительная относительно оси Oz, сторона поверхности). Тогда

Если нормаль к поверхности образует с осью Оz тупой угол,

(в данном случае нижняя, отрицательная относительно оси Oz, сторона поверхности).

Тогда

Аналогично, если поверхность задана уравнением y=y(x;z), рассматриваем угол, который образует нормаль к поверхности с осью Оy.

Знак перед интегралом выбираются в зависимости от ориентации поверхности, плюс - если нормаль образует с осью Оу острый угол (, положительная относительно оси Oy сторона поверхности), минус - угол тупой (, отрицательная относительно оси Oy сторона поверхности). Тогда

где (Dxz) - проекция поверхности на координатную плоскость Оxz.

Аналогично, если поверхность задана уравнением x=x(y;z), рассматриваем угол, который образует нормаль к поверхности с осью Ох. Знак перед интегралом выбирают в зависимости от ориентации поверхности, плюс - если нормаль образует с осью Ох острый угол (, положительная относительно оси Ox сторона поверхности), минус - угол тупой

(, отрицательная относительно оси Ox сторона поверхности). Тогда:

где (Dyz)- проекция поверхности на координатную плоскость Oyz.

При вычислении поверхностного интеграла общего вида используют формулу (метод проекций):

Пример

Вычислить интеграл: , где - верхняя сторона поверхности , отсечённая плоскостями .

Решение

Построим часть плоскости , отсечённую плоскостями (рис.37).

Рис.37

Применим метод проекций на координатные плоскости. Очевидно, что при переходе к двойным интегралам из уравнения плоскости для первого двойного интеграла в подынтегральной функции следует исключить переменную , для второго - переменную , для третьего - переменную .

Для определения знака перед двойными интегралами рассмотрим углы нормали к поверхности с координатными осями.

Координаты вектора нормали плоскости ,

, модуль вектора .

Соответственно, направляющие косинусы , . Таким образом, нормаль образует с осью Ох, осью Оz острые углы, а с осью Оу – тупой угол

(рассматриваем верхнюю сторону поверхности, (рис. 37)). Соответственно, перед первым и третьим двойным интегралом берём знак плюс, перед вторым - минус.

Для вычисления двойных интегралов рассмотрим проекции части плоскости на координатные плоскости:

Рис.38
на Oyz (x = 0) -2y + z – 2 = 0, z = 2+2y;	на Oxz (y = 0) 2x + z – 2 = 0 z = 2 – 2x;	на Oxy (z = 0) 2x – 2y – 2 = 0, y = x – 1;

Пример

Вычислить интеграл по нижней стороне полусферы .

Решение

Преобразуем уравнение сферы

Рис.39

так как , то рассматриваем полусферу (рис.39).

Спроецируем поверхность в плоскость Oxy. Для этого рассмотрим сечение плоскостью z=4.

При z=4 получим Проекцией поверхности в плоскость Oxy является круг радиусом 4.

Очевидно, что нормаль к нижней (отрицательной относительно оси Oz стороне поверхности) стороне образует с осью Oz тупой угол, поэтому выбираем перед двойным интегралом знак минус. Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам.

2.2.4. Формула связи между поверхностными интегралами 1 и 2 рода.

Поверхностные интегралы 1 и 2 рода связаны следующей формулой:

Где , , – направляющие косинусы нормали к выбранной стороне поверхности .

Пусть незамкнутая поверхность задана уравнением (поверхность однозначно проектируется на плоскость Oxy).

Тогда, если - нормаль к верхней (положительной относительно оси Oz) стороне поверхности, то её координаты и соответственно направляющие косинусы равны:

;

Если - нормаль к нижней (отрицательной относительно оси Oz) стороне поверхности, то её координаты и соответственно направляющие косинусы равны:

;

Пусть незамкнутая поверхность задана уравнением (поверхность однозначно проектируется на плоскость Oxz).

Тогда, если - нормаль к положительной относительно оси Oy стороне поверхности (угол с Oy острый), то её координаты и соответственно направляющие косинусы равны:

;

Если - нормаль к отрицательной относительно оси Oy стороне поверхности (угол с Oy тупой), то её координаты и соответственно направляющие косинусы равны:

;

Аналогичные рассуждения можно привести для случая задания поверхности уравнением .

В главе поверхностный интеграл 1 рода, в случае задания функции уравнением дифференциал находили по формуле .

Таким образом, из формулы связи поверхностного интеграла 1 рода и 2 рода, если выбрана верхняя (положительная) сторона поверхности , применяя формулы для нахождения дифференциала и направляющих косинусов получим:

И, если выбрана нижняя (отрицательная) сторона поверхности :

Аналогичные формулы можно получить для случая задания поверхности уравнением (), при этом, рассматривая положительную и отрицательную сторону поверхности относительно соответственно оси Oy (Ox).

Замечание. Предложенные формулы избавляют от необходимости проецировать поверхность на все три координатные плоскости

(следует только следить за однозначностью проецирования в соответственную координатную плоскость).

Пример

Вычислить , где верхняя сторона поверхности , отсечённая плоскостями , .

Решение

Построим поверхность , отсечённую плоскостями , . Поверхность - параболоид вращения.

Для наглядности построения поверхность изобразим в левой системе координат.

Рис.40

Верхняя часть параболоида однозначно проецируется как на плоскость Оxy, так и на Оyz, а на плоскость Оxz поверхность проецируется не однозначно (происходит наложение областей).

Рис.41

Спроецируем на плоскость Оyz (рис.41).

Поверхность отсечена плоскостью , тогда проекция на плоскость Оyz (D_yz): .

Координаты вектора нормали к верхней, в данном примере, отрицательной относительно оси Оx стороне поверхности .Соответственно интеграл вычисляем по формуле:

Найдём производные:

Следовательно

Вычислим двойной интеграл в полярной системе координат, в данном примере она задаётся: .

2.3. Формула Стокса.

Связь между криволинейным и поверхностным интегралами 2 рода.

Теорема. Пусть на ориентированной поверхности заданы функции P(x;y;z), Q(x;y;z); R(x;y;z) – непрерывные весте со своими частными производными, тогда справедлива формула:

- формула Стокса.

Где (L)- граница поверхности и интегрирование вдоль (L) производится в положительном направлении (при обходе (L) поверхность остаётся слева) (рис.42).

Рис.42

Пример

Вычислить интеграл по контуру треугольника полученного в пересечении плоскости с координатными плоскостями (направление обхода положительное).

Решение

Построим контур треугольника (рис.43).

Рис.43

Так как контур замкнутый, то используем формулу Стокса (очевидно, что нормаль проведена к верхней стороне поверхности и направление обхода контура положительное).

, , .

Тогда , , , , , . Тогда

Сведём поверхностный интеграл к двойному интегралу.

Заметим, что угол нормали к плоскости с осью Оу острый, поэтому перед двойным интегралом выбираем знак плюс и интеграл равен площади проекции (D_xz) (смотри свойства двойного интеграла) (рис.44).

Рис.44

2.4. Формула Остроградского-Гаусса.

Связь между поверхностным интегралом 2 рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объёму, ограничивающему эту поверхность.

Теорема. Пусть на ориентированной поверхности заданы функции P(x;y;z), Q(x;y;z); R(x;y;z) – непрерывные вместе со своими частными производными, тогда справедлива формула: