Криволинейные интегралы

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1. Криволинейный интеграл 1 рода.

1.1.1. Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть для любой точки кривой (L) определена непрерывная функция f(x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А=P₀, P₁, P_n = В на n произвольных дуг P_i_-1P_i с длинами (i = 1, 2, n) (рис.27)

Рис.27

Выберем на каждой дуге P_i_-1P_i произвольную точку M_i (x_i; y_i), вычислим значение функции f(x;y) в точке M_i. Составим интегральную сумму

Пусть , где .

Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L)на элементарные части, ни от выбора точек M_i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по длине дуги) и обозначают:

Замечание. Аналогично вводиться определение криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой (L).

Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода:

Если (L)- плоская кривая с линейной плоскостью , то массу кривой находят по формуле:

1.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода:

3. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то .

4. Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования:

5. , где - длина кривой.

1.1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.

Вычисление криволинейного интеграла сводят к вычислению определенного интеграла.

1. Пусть кривая (L) задана уравнением . Тогда

, то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Пример

Вычислить массу отрезка прямой от точки А(1;1) до точки В(2;4), если .

Решение

Уравнение прямой проходящей через две точки: .

Тогда уравнение прямой (АВ): , .

; , .

Найдём производную .

Тогда . = .

2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .

Тогда , то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Для пространственного случая задания кривой: .Тогда

,то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Пример

Найти длину дуги кривой , .

Решение

Длину дуги найдём по формуле: .

Для этого найдём дифференциал дуги .

Найдём производные , , .Тогда и длина дуги: .

3. Пусть кривая (L) задана в полярной системе координат: . Тогда

, то есть дифференциал дуги вычислют по формуле .

Пример

Вычислить массу дуги линии , 0≤ ≤ , если .

Решение

Массу дуги найдём по формуле:

Для этого найдёмдифференциал дуги .

Найдём производную .

= =

1.2. Криволинейный интеграл 2 рода

1.2.1. Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть на (L) задана непрерывная функция f (x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А = P₀,P₁, P_n = В в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг P_i_-1P_i с длинами (i = 1, 2, n) (рис.28).

Рис.28

Выберем на каждой дуге P_i_-1P_i произвольную точку M_i (x_i; y_i), вычислим значение функции f(x;y) в точке M_i. Составим интегральную сумму , где - длина проекции дуги P_i_-1P_i на ось Оx. Если направление движения вдоль проекции совпадает с положительным направлением оси Оx, то проекцию дуг считают положительной, иначе - отрицательной.

Пусть , где .

Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L) на элементарные части, ни от выбора точек M_i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 2 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по координате х) и обозначают:

Замечание. Аналогично вводится криволинейный интеграл по координате у:

Замечание. Если (L) - замкнутая кривая, то интеграл по ней обозначают

Замечание. Если на (L) задано сразу три функции и от этих функций существуют интегралы , , ,

то выражение: + + называют общим криволинейным интегралом 2 рода и записывают:

+ + .

1.2.2. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода:

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода изменяет свой знак .

4. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то

= + .

5. Если кривая (L) лежит в плоскости:

- перпендикулярной оси Ох, то =0;

- перпендикулярной оси Oy, то ;

- перпендикулярной оси Oz, то =0.

6. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

1.2.3. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.

Работа А силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки М в точку N вдоль (MN) равна:

1.2.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводят к вычислению определенного интеграла.

1. Пусть кривая (L) задана уравнением .

, где .

Пример

Вычислить , где (L)- ломаная OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Решение

Так как (рис.29), то

1)Уравнение (OA): , ,

Рис.29

2) Уравнение прямой (AB): .

2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .

.Тогда

Замечание. В пространственном случае:

Пример

Вычислить

,где (АВ)- отрезок от А(0;0;1) до B(2;-2;3).

Решение

Найдём уравнение прямой (АВ):

Перейдём к параметрической записи уравнения прямой (АВ) . Тогда .

Точке A(0;0;1) соответствует параметр t равный: следовательно, t=0.

Точке B(2;-2;3) соответствует параметр t, равный: следовательно, t=1.

При перемещении от А к В ,параметр t меняется от 0 до 1 .

1.3. Формула Грина

Формула связи двойного интеграла по плоской области (D) и криволинейного интеграла по границе (L) этой области (рис.30).

Рис.30

Теорема. Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными в области (D), то имеет место формула:

- формула Грина,

где (L) - граница области (D). Интегрирование ведётся в положительном направлении (при обходе (L)область остаётся слева).

Пример

Вычислить интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

, где (L): .

Решение

Построим контур интегрирования (рис.31). Для этого найдем точки пересечения параболы с осью Оx и координаты вершины параболы .

Точки пересечения с осью Оx: , , .

Координаты вершины параболы: .

Вершина параболы .

Рис.31

Очевидно, что , , .

Применим формулу Грина:

1.4. Условие независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области (D), в которой функции и непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области выполнялось равенство:

Пример

Вычислить , где (L) отрезок от точки А(1;1) до В(2;8).

Решение

Очевидно, что .

Тогда .То есть .

Следовательно, в качестве пути интегрирования можно взять например отрезок кривой или дугу (уравнениям этих линий удовлетворяют координаты точек А и В).