Основные уравнения теории гидравлического удара

ГУ сопровождает все явления в трубопроводе, связанные с изменением во времени скорости жидкости. Источником ГУ может служить как изменение движения жидкости при регулировании её расхода, так и изменение давления в каком-либо источнике, к которому присоединён трубопровод, так как и в том и в другом случае нарушается имевшийся прежде режим движения или покоя жидкости.

Всякое изменение установившегося режима движения, согласно основному закону механики, требует приложения силы, которая для жидкости всегда выделяется в виде повышения или понижения давления. Как пишет Н.Е. Жуковский: «Все явления ГУ объясняются возникновением и распространением в трубах ударной волны, происходящей от сжатия воды и от расширения стенок трубы». Благодаря упругости стенок трубопровода и сжимаемости жидкости новые значения скорости и давления распространяются по длине трубопровода с конечной скоростью (распространения ГУ) примерно равной 700-1400 м/с. Далее будет выведена общая формула для вычисления её величины в различных случаях.

Таким образом, тип процесса гидравлического удара определяется следующими физическими причинами:

1) Жидкость, как обладающая массой, требует для изменения режима своего движения приложения силы в виде давления;

2) Жидкость, как и стенки трубопровода, обладает упругими свойствами.

При выводе основных дифференциальных уравнений ГУ будем принебрегать влиянием инерции стенок трубопровода и силами терния жидкости, так как введение этих факторов не дает возможности получить общее решение задачи в конечном виде.

Составим дифференциальное уравнение движения элементарной массы жидкости в трубопроводе. На рисунке 2 представлен отрезок трубопроовда постоянного поперечного сечения F. Скорость жидкости V считаем положительной, когда она направлена в сторону, обратную оси x. Координатную ось z направим вверх, против силы тяжести. Будем считать, что распределение давлений и скоростей в сечении трубы равномерное и их местные значения во всех точках любого поперечного сечения трубопровода могут быть заменены средними значениями скорости V и давления P. В этом случае для каждого момента времени t скорость V и давление P будут вполне определяться значением координаты x.

Выделим между двумя нормальными к оси трубопровода сечениями 1-1 и 2-2, находящимися на расстоянии dx, элементарный объём жидкости. Масса этого объёма равна :

где – объёмный вес жидкости,

g – ускорение силы тяжести.

Рис. 2

На данную массу действуют силы от давления жидкости в сечениях 1-1 и 2-2 и сила тяжести. Если давление жидкости в сечении 1-1 обозначить через P, то давление в сечении 2-2 для того же момента времени будет равно : R + dx, где – частная производная от давления P по координате x.

Тогда соответствующие этим давлениям силы равны:

PF и dxF,

А сила тяжести равна:

F dx.

Составим дифференциальное уравнение движения по трубопроводу выделенного элементарного объёма. Проектируя все силы на ось трубопровода и принимая за положительное направление проекций направление скорости V, получаем:

= F (R + dx) – FP + F dx = F dx + F dx ;

= g ( + );

где – ускорение объёма, т. е. полная производная от скорости по времени.

Так как z есть функция только координаты x, то полная производная равна частной производной .Тогда, пренебрегая малым изменением g от давления, как фактором в данном случае второстепенным, предыдущее выражение примет вид:

= g ( + ) = g , (1)

в котором, пренебрегая скоростным напором, пьезометрический напор:

H = + (2)

Приращение скорости при гидравлическом ударе:

dV = dt + dx.

Это выражение показывает, что полное изменение скорости элементарного объёма жидкости слагается из изменения скорости по времени в данном сечении трубопровода (x=const). Поэтому в данном выражении dx есть перемещение элементарного объёма жидкости за время dt, связанное со скоростью V зависимостью:

dx = – V dt,

Знак минус учитывает убывание координаты х при перемещении с положительной скоростью V.

Подставляя значение dx в выражение для dV, получаем:

dV = dt– dt,

= – V .

Тогда из выражения (1) получаем первое дифференциальное уравнение ГУ в следующем виде:

g = – V . (3)

Второе дифференциальное уравнение ГУ вытекает из принципа массы жидкости, являющегося обобщением обычного в гидравлике уравнения сплошности. Оно учитывает как упругие, так и изменение плотности жидкости от давления.

a² = g ( – V ). (4)

4. Формула Н.Е.Жуковского для определения максимального давления при гидравлическом ударе

Рис. 3

Рассмотрим два сечения трубопровода 1 и 2 в период первого такта в моменты времени t₁ и t₂ после закрытия задвижки (Рис. 3). Моменты времени выберем такими, чтобы расстояние l между сечениями 1 и 2 было бы равно: l = a (t₂ -t₁ ) = a dt.

Применим к объёму жидкости, заключённому между сечениями 1 и 2, теорему об изменении количества движения: «изменение во времени количества движения части жидкости равно сумме внешних сил, действующих на рассматриваемую область». В момент времени t₁ скорость частиц жидкости между сечениями 1 и 2 равна V₀, плотность r, площадь поперечного сечения S, расстояние между сечениями 1 и 2 равно: l = a dt.

Количество движения жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени t₁ равно: KD = r S a × dt V_o.

В момент времени t2 = t1 + dt скорость частиц жидкости между сечениями 1 и 2 равна: V t 2 0 = V +D V, плотность r + dr, площадь поперечного сечения S + dS, расстояние между сечениями 1 и 2 равно: l = a dt.

Количество движения жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени t₂ равно:

KD t2 =(r +dr) (S +dS) (V +DV) a×dt (5)

В сечении 2 действует давление P, а в сечении 1 давление p + psh; следовательно, сумма внешних сил, действующих на объём жидкости между сечениями 1 и 2, равна:

F₁ – F₂ = pS – (p + p_{sh) (}S + dS) (6)

Применяя теорему об изменении количества движения, получим:

F₁ – F₂ = (7)

или

= pS – (p + p_{sh) (}S + dS). (8)

Раскроем скобки и отбросим слагаемые более высокого порядка, имеющие сомножителем бесконечно малые величины:

r a DV = – psh S (9)

Окончательно получаем формулу Н.Е.Жуковского для вычисления ударного давления при полном и неполном гидравлическом ударе:

p sh = r ×a V₀ , (10)

при полном гидравлическом ударе (DV = – V₀):

p_sh = r ×a DV. (11)

Если время закрывания задвижки t больше времени, в течение которого ударная волна дойдёт до резервуара и отражённая волна, сопровождающаяся падением давления, вернётся к задвижке, т.е > , то давление не достигает максимальной величины, т.к. частично погашается отражённой волной. В этом случае повышение давления может быть найдено по формуле Мишо:

p_sh = .