Формула Н.Е.Жуковского для определения скорости распространения ударной волны при гидравлическом ударе

Вторую формулу, позволяющую вычислить скорость ударной волны при гидравлическом ударе, Н.Е.Жуковский получил, применяя закон сохранения массы для объёма жидкости, заключённого между сечениями 1 и 2: разность массы жидкости, прошедшей через сечения 1 и 2 за время dt, равна изменению массы жидкости в объёме, ограниченном сечениями 1 и 2:

m₂ – m₁ = m_t2 – m_t1 (12)

В уравнении (12) приняты следующие обозначения.

Масса жидкости m₂, вошедшая в рассматриваемый участок трубопровода через сечение 2 за промежуток времени dt:

m₂ = r S V₀ dt. (13)

Масса жидкости m₂, вышедшая из рассматриваемого участка трубопровода через сечение 1 за промежуток времени dt:

m₁ = (r +dr) (S +dS) (V₀ +DV) dt. (14)

Масса жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени t₁:

m t1 = a dt S×r. (15)

Масса жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени t₂:

m t2 = a dt (S +dS) (r + dr). (16)

Раскроем разность m 2 - m 1 с использованием (13) и (14), произведём сокращения

одинаковых слагаемых с разными знаками и пренебрежём слагаемыми малого порядка, имеющими в качестве сомножителей dS или d r:

m₂ – m₁ = – rS ×DV ×dt. (17)

Раскроем разность m t 2- m t 1 с использованием (13-16), раскроем скобки, произведём сокращения одинаковых слагаемых с разными знаками и пренебрежём слагаемыми более высокого порядка, имеющими в качестве сомножителей произведение dS × d r:

m t2 – m t1 = a × dt ×(S d r + r dS). (18)

Подставив выражения (17) и (18) в уравнение (12), получим:

– rS ×DV = a dt ×(S d r + r dS). (19)

или

DV = – a ( + ). (20)

Н.Е.Жуковский использовал полученные им соотношения (11) и (20) для вывода формулы скорости распространения ударной волны a через геометрические и физические характеристики трубы. Из (11) и (20) следует:

= – a ( + ) (21)

или

= a ² ( + ). (22)

Выразим относительное изменение плотности через параметры процесса:

= – , (23)

где K - модуль упругости жидкости.

Учитывая, что V = , вычислим выражение , полагая DV» dV:

= = .(24)

Полагая в формуле (23) Dp = p sh, получим выражение для относительного изменения плотности:

= .(25)

Выразим относительное изменение площади поперечного сечения трубопровода при ГУ dS/S через параметры процесса.

Если площадь поперечного сечения трубы S равна:

S = 2 p r,

то изменение площади сечения при изменении радиуса трубы на dr будет равно:

dS = 2p r ×dr.

Таким образом:

= . (26)

Напряжение в стенке трубы, возникающее во время гидравлического удара, можно вычислить двумя способами. Во-первых, по закону Гука:

= E , (27)

а также по формуле:

= = , (28)

где - толщина стенки трубы.

Из уравнений (27) и (28) следует:

= E = . (29)

Используя выражение (26), получаем:

= . (30)

Подставим в уравнение (22) полученные соотношения (25) и (30):

= a ² ( + ). (31)

или

= a ² ( + ), (32)

где - диаметр трубы.

Получаем формулу Н.Е.Жуковского:

a= . (33)

В этой формуле символом a ₀ обозначена скорость распространения звука в жидкости:

= . (34)