Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Пользуясь результатами, изложенными в nn°°99—102, мы выведем полярное уравнение эллипса, гиперболы и пара­болы (по форме записи общее для этих трех линий) при неко­тором специальном расположении полярной оси. Оговоримся, однако, что в случае гиперболы это уравнение определяет линию не целиком, а только одну ее ветвь.

Пусть нам дана какая-нибудь из названных линий: эллипс, гипербола или парабола (если данная линия гипербола, то мы будем рассматривать какую-нибудь одну ее ветвь); обозначим ее буквой L.

Рисунок 65

Пусть F —фокус линии, g — соответствующая этому фокусу директриса (в случае гиперболы в качестве F и g возьмем фокус и директрису, ближайшие к рассматриваемой ветви).

Введем полярную систему ко­ординат так, чтобы полюс сов­местился с фокусом F, а поляр­ная ось направилась из фокуса по оси линии L в сторону, про­тивоположную директрисе g (рис. 65). Обозначим, как обычно, через р, полярные координа­ты произвольной точки М линии L. Чтобы вывести уравне­ние линии Z, будем исходить из соотношения

- эксцентриситет линии, а r и d имеют тот же смысл, что и в п°п° 99—102.

Так как полюс совмещен с фокусом F, то

(2)

Далее,

(3)

Пусть Р— точка, расположенная на линии L так, что отре­зок FP перпендикулярен к оси линии L, и —длина отрезка FP.

Иначе говоря, р есть половина фокальной хорды линии L, пер­пендикулярной к ее оси; эта величина называется фокальным параметром*) линии L.

Вследствие основного соотношения (1), которое отно­сится ко всем точкам линии L, мы имеем (в частности для точки Р):

откуда . Но следовательно,

Из последнего равенства и равенства (3) получаем:

(4)

Подставляя теперь в левую часть уравнения (1) вместо г и а их выражения (2) и (4), найдем:

,

откуда

(5).

Это и есть полярное уравнение эллипса, гиперболы (вернее одной ветви гиперболы) и параболы. Здесь р — фокальный параметр, — эксцентриситет кривой. Уравнение (5) исполь­зуется в механике.