Примеры решения задач. При подстановке вместо переменной х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида

Задача 1. Найти пределы: 1) .

2) .

При подстановке вместо переменной х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой

ax ² + bx + c = a (x – x ₁)(x – x ₂),

где х ₁, х ₂ – корни квадратного трехчлена ax ² + bx + c.

У нас

2 х ² – 3 х – 9 = 2(х – 3)(х + ),

так как дискриминант квадратного трехчлена D = 9 – 4 · 2 · (– 9) = 81, а следовательно,

х ₁ = 3, х ₂= – .

Аналогично

х ² – х – 6 = (х – 3)(х + 2)

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

3) .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

4) .

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Задача 2. При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

а) [ f (x) ± φ(x)]΄ = f ΄(x) ± φ΄(x);

б) [ f (x) · φ(x)]΄ = f ΄(x)φ(x) + f (x)φ΄(x);

в) ;

г) если задана сложная функция y = f (u), где u = φ(x), то есть y = f (φ(x)); если каждая из функций y = f (u) и u = φ(x) дифференцируема по своему аргументу, то