Откуда взялась темная материя. 7 страница

В этой аксиоме предполагается, что следы ¾ прямые, образуе­мые движущимися точками, совместно стремятся к еди­ному центру, который может находиться в любой точке пространства, но оставаться недостижимым, поскольку свойства напряженности пространства изменяются и своим изменением замедляют их движение (вспомните температурную сферу А. Пуанкаре). Каждый после­дующий шаг для них оказывается меньше предыдущего, и поэтому расстояние до центра О не может быть прой­дено даже за бесконечный промежуток времени. То есть эти движущиеся прямые никогда не пересекутся и, сле­довательно, они параллельны. Геометрия, основанная на данной аксиоме, названа русской геометрией, хотя является динамической или физической геометрией.

В предыдущем предложении подчёркнуто слово аксиома. И подчёркнуто не случайно. Выше утверждается категорически, что русская механика не содержит аксиом. И вдруг автор от категоричности отказывается. Не отказываюсь, а только стремлюсь показать, что аксиомы подменяют сущность физических явлений их наблюдаемым эффектом. Так, например, наблюдается, что «отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам времён обращения для всех планет Солнечной системы одинаково (третий закон Кеплера):

4 π²R³/T² = MG = const.

Правильнее:

Ѕ³/Т² = const,

где Ѕ – длина орбиты.

Из него следует, что const этой пропорции принадлежит только этим четырём свойствам, и совершенно непонятно какой механизм их связывает. И даже кажется, что произведение MG, хотя и имеет равный левой части уравнения результат, отображает только формальное равенство как взаимосвязь свойств через const, но никак не одинаковый механизм взаимодействия. Качественно R³/T² – движение, а MG – неподвижность, поскольку закон оперирует только движением. А что делать, если эта const связывает бесчисленное множество свойств, как бы не имеющих прямого отношения к третьему закону Кеплера? Приведу некоторые из них:

const – R³/τ² = R²vω= v²g/ω² = FG/g = FR²/M = v⁴τ … и т.д.

Этот набор инвариантов (которые я назвал кеплеровскими), показывает взаимозависимости свойств, но ничего не говорит о механизме их взаимодействий. Похоже, механизм взаимодействий отображается через комбинации взаимозависимостей свойств, связанных с движением R, v, τ, ω и т.д. А третий закон Кеплера можно формализовать в виде:

R³/τ² = сonst. (А)

Где τ = Т/ 2 π – приведенное время, локальное время той области пространства, в котором космическое тело движется не по орбите, а падает на другое космическое тело.

Инвариант (А) в классической механике отсутствует так же, как и красивое уравнение-инвариант:

v⁴/τ = const, (Б)

а из него следует, что скорость вертикального падения тела, например, камня с земной орбиты на Солнце происходит не с положительным ускорением, а с отрицательным. И если представить Солнце газовым шаром, то указанный камень за бесконечный промежуток времени не достигнет центра Солнца, поскольку изменяемая плотность пространства обусловливает замедление течения времени пропорционально кубу скорости. И, следовательно, два камня падающих из различных областей никогда не столкнутся в его центре. В этом физический смысл третьего закона Кеплера, именно он отображается в формулировке динамической аксиомы о параллельных.

Следует отметить, что для русской геометрии становится неприменимым евклидово понятие "прямая линия", поскольку последняя не проходит через две существую­щие точки. Вероятно, более подходит следующее опре­деление: Прямая линия — след точки движущейся к дру­гой точке по кратчайшему пути. Евклидово определение понятия "точка" можно временно сохра­нить до осмысливания и понятия «точки» и понятия «прямая».

Рассмотрим, к каким последствиям приводит эта ак­сиома.

Предположим, что из точки А к точке О движется тело-точка ( рис. 8) и за прошедшее время она прошла расстояние АА, след-траектория ко-торо­го есть прямая ли­ния. Будем Рис. 8. назы­вать ее прямой. Одновременно из точки А' к тому же центру О движется другое тело-точка. И эта точка прошла расстояние А'А'. Ее след-траектория тоже прямая линия или просто прямая, как и след всех последующих точек. Прямые АА и А'А', ос­тавленные движущимися точками, по геометрии Евкли­да не являются параллельными.

Но в динамической гео­метрии они параллельны, поскольку никогда не в состоянии достичь центра О и, следовательно, пере­сечься в одной точке. К тому же, в отличие от «прямых» Лобачевского и Римана, они действительно прямые. Определим, какие зависимости возникают между дви­жением этих прямых и элементами фигур, образуемых ими. Продолжим построение (рис. 9). Проведем допол­нительные прямые АА', А"А",... АⁿАⁿ так, чтобы по длине они оставались равными между собой, а расстоя­ние между ними определялось отрезком, выходящим из некоторой точки k прямой АА до точки k', лежащей на прямой А'А' под углом Akk' к прямой А′А' и равным ему углом А'kk' прямой АА

След следующей прямой проводим по тем же правилам из точки k ' прямой А'А' к точке k" прямой А"А". И так до тех пор, пока отрезок, выходящий из точки kⁿ прямой А^пАⁿ, не замкнет построение ломаной на прямой АА. Поскольку расстояние между прямыми одина­ково, а углы на пересе­чении каждого отрезкас прямой равны, замы­кающий отрезок попа­дет в ту же точку k прямой АА, из которой вышел отрезок kkⁿ. Замкнутая ломаная kk'k"...кⁿ образует равносто­ронний многоугольник. В результате получаем на плоскости «часто-кол» пря­мых, имеющих своим стремлением Рис. 9.недостижимый в бесконечности, а потому фиктив- ный, центр О. Все пря­мые в своем движении к недостижимому центру парал­лельны и по определению и по структуре напряженно­сти на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника ¾ дихо­томия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной вели­чины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk′ k'k", k"k"',…, kⁿk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с коли­чеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk', k'k",..., k"k будетстремиться к минимуму, а углы Аkk', А'k'k′′ А′'k′'k′",... устремятся к π/ 2, и в пределе многоугольник kk′k′′ …kⁿ долженпревратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одно­временно будет обладать свойствами евклидовой стати­ческой геометрии, и содержать в своих границах пло­щадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь ве­личины бесконечной. Две несовместимые площади как бы налагаются друг на друга.

В полном соответствии с геометрией Евклида длина окружности S будет равна 2 π радиан, а радиус, напро­тив, будет стремиться к бесконечности, никогда не дос­тигая центра О. Последний в данном случае, отсутству­ет. Прямая может исходить из какой-то точки окружности или входить в нее, но никогда не может пройти бесконечность. В то же время, по геометрии Евклида, центр у данной окружности S имеется, длина ра­диуса R конечна и определяется уравнением:

R = S/ 2 π.

Получается, что одни и те же геометрические элемен­ты можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определен­ная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.

Отложим от точки k вправо и влево (см. рис.9) по от­резку kk₁ и kk₂ одинаковой длины в евклидовой мерно­сти и, используя предыдущее правило построения, про­ведем через них еще две окружности k₁'k₁"k₁′"... k₁ⁿ и k₂′k₂′′k₂′′′… k₂ⁿ. Естественно, что окружности k₁ и k₂ по от­ношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.

Отличие же их начинается уже с того, что наружу от окружности обе геометрии допускают проведение бес­счетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга, а внутри окружности k, по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, для динамичёской же геометрии — снова не ограничено. Каж­дая окружность — эквипотенциальная линия относительно точки О. И длина ее (или окружность) равна бес­конечности одного ранга, т.е. они равны между собой. Это есть следствие аксиомы о динамических параллель­ных. Оно может быть сформулировано следующим об­разом:

Дуги-хорды kk', k₁k₁′, пересекающие прямые АА и А'А' под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.

Это следствие — теорема требующее доказательства. В настоящей работе она предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:

• В геометрии Евклида длина всех окружностей раз­лична, а в неевклидовой одинакова. Линия же окружно­сти является прямой.

• В геометрии Евклида линия окружности непрерыв­на, а в неевклидовой дискретна и состоит из бесчислен­ного множества одинаковых отрезков бесконечной дли­ны.

• В статической геометрии радиус окружности коне­чен, в динамической бесконечен.

• В статической геометрии взаимодействие между ра­диусом и окружностью отсутствует, в динамической на­личествует.

• Статическая геометрия радиусы и окружности не связывает со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.

Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у ок­ружностей двух геометрий лишает нас возможности оп­ределения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоиз­меримых чисел (что вполне понятно, поскольку конеч­ное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей пло­щадью S' и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S'= πR², малого S = πr²:

πR² = 2 r²π R = r√2= 1,41421... r.

Число √2, по Дедекинду, и есть несоизмеримое ирра­циональное число, символ особого способа распределе­ния соизмеримых чисел [17]. В динамической геометрии, однако, это символ связности, а в данном случае — каче­ственный коэффициент, обусловливающий изменение пространства при движении в нем двух линий к отда­ленному центру. При коэффициенте связности, равном √2, две линии, движущиеся на плоскости к одному цен­тру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлений √ 2→ 1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.

Определим, чему равно несоизмеримое число, описы­вающее пространство. Используем метод построения окружности при образовании сферы. Для этого прове­дем множество одинаковых прямых АА, параллельных А′А′, направленных к единому центру, но не в плос­кости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, устремленных в одну точку, на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k₁, по ранее описанному методу. В результате по­строения получаем сферический многогранник, Сходя­щийся при бесчисленном увеличении граней в правиль­ную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.

Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА (Рис. 9.), становящейся осью вращения, а при повороте на минимальные градусы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера име­ет выделенную ось вращения, и ось эта — прямая, про­ходящая через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит.

Любым из этих способов можно построить бесчис­ленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из ко­торых будет конечен в евклидовой геометрии и беско­нечен в динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.

Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вы­членим внутри одной сферы V другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V_о и объем сферы V₁ между поверхностями двух сфер были равны: V = V_о, тогда суммарный объем V равен:

V = 4/3 πR³; V₁ + V_о = 2 V = 8 / 3 πR³.

Определим, насколько радиус внешней сферы R превы­шает радиус внутренней r, R³ = 2 r³.

Отсюда: R = ³√2 r = 1,259921... r. k = 1,259921.

Таким образом, коэффициент связности объема k (не­соизмеримое число Дедекинда) равно:

k = ³√2 = 1, 259921...

Это число, как и коэффициент связности окружности, является иррациональным и обусловливает бесконечное движение параллельных к центру сферы.

Хотя коэффициент связности и является безразмерностной величиной, он качественно индивидуален для каждого параметра. Говоря словами Дедекинда, каждый коэф­фициент принадлежит своему и только своему рангу па­раметров, а потому для каждого из них необходима соб­ственная индексация.

2.2. Структурирование динамического

пространства

Известно, что проблема бесконечного включает дихо­томию взаимосвязи двух пар категорий, с одной сторо­ны, различие конечного и бесконечного, с другой — по­коя и движения. Попарное существование противо­положных форм категорий обусловливает различие в подходе к описательному отображению космических тел и структур. Это различие, прежде всего, относится к первичным понятиям: тело-точка, прямая-луч, плос­кость, движение и т.д.

Выше было показано, что тело в динамической гео­метрии представляет материальную сферу, бесконечную внутрь и отграниченную собственной поверхностью от окружающего пространства. Тело, как вещественное об­разование, формирует структуру и влияет на внешнее пространство в соответствии с энергетической на­пряженностью, создаваемой количественной величиной всех своих свойств.

Тело можно представить точкой только тогда, ко­гда ее параметры и собственная напряженность несо­поставимы по рангу с параметрами и напряженностью окружающего пространства и тел, образующих структуру данного пространства.

Линия или прямая есть условный след от движения точки (тела) в пространстве. И начало, и конец линии входят в поверхность некоторых точек. Линии на уча­стке от поверхности одной точки-сферы до другой имеют конечную длину изменяемой метричности, отождествляемую с некоторой метрической цифрой.

Если эту же прямую продолжить за пределы поверх­ности конечных точек-сфер, или внутрь их, то прямая станет иметь бесконечную длину, не отождествимую ни с какими действительными числами.

Линия (условная), соединяющая две движущиеся оп­ределенным образом точки, называется образующим лучом или образующим. Образующий луч индексируется начальной буквой слова — Л. Так, если одна из точек не­подвижна на плоскости, а другая, не меняя расстояния до первой, описывает в движении правильный круг, то образующий луч с такими свойствами в геометрии на­зывается радиусом.

В пространственных системах образующий луч Л всегда подвижен, и каждая его точка в процессе движе­ния описывает геометрическую фигуру, соответствую­щую уравнению движения и коэффициенту связности. Естественно, что в уравнении движения зашифрована и напряженность области концевых точек луча и про­странства, в котором луч движется. (Везде предполага­ется, что след движения остается только от перемеще­ния концевых точек.)

Основной способ движения луча в динамической геометрии — собственное удли­нение или сокращение (пульсация) с определенным пе­риодом, сочетающийся с вращением и некоторым

про­странственным перемещением, например, в простран­стве декартовых координат. Поэтому кривые (следы), плоскости и пространства всех геометрий, включая Евк­лидову, Лобачевского и Римана, описываются обра­зующим лучом, один конец которого может двигаться по линии или оставаться неподвижным, а другой, в движении, удлиняться или сокращаться. На рис. 10 показано, как, двигаясь на плоскости, образующий АО от точки А до точки А', остается неизменным по длине и описы-

вает дугу окружности пол­ностью в соответствии с геометрией Евклида. В точке А' он в движении начинает укорачиваться и до точки А" движется по сферической кривой, описывая линию положи-тельной кривизны в соответствии с гео­метрией Римана. В точке А" происходит следующий пе­релом и образующий на участке А" А"' начинает описы­вать линию отри-Рис. 10. цательной кривизны по геометрии Лобачевского до точки А'", после которой линия движе­ния снова меняет «свою» геометрию и т.д. Переломные точки А', А", А'", А"" имеют статическую для этой об­ласти величину луча, и потому луч может быть отнесен к геометрии Евклида. Перелом есть изменение качест­ва, процесс перехода от одной кривизны к другой.

Оба конца луча могут совершать любые движения, описывать самые различные фигуры, кроме тех, кото­рые могут привести к их пересечению между собой. Так, например, если конец луча, описывающий кривую АА'А"А'"... (рис. 10), замкнется при одновременном движении другого конца-точки О по прямой, то выпи­сывается объемная фигура — профилированный ци­линдр. Если же точка О будет двигаться по окружности, то вместо цилиндра получается тор того же профиля. Таким образом, возникновение искривления как поло­жительного, так и отрицательного, связано с изменени­ем длины луча, создающего это «искривление». Длина луча, в свою очередь, зависит от напряженности про­странства в различных направлениях от точки, из кото­рой он исходит. Изменение напряженности не есть ис­кривление поверхности и не приводит к нему, а вызывает изменение метричности. И, следовательно, длины луча. Покажу это (рис.11).

Пусть луч АО, исходящий из условной точки О, двигаясь по отрезку окружности АВО, начал удлиняться и в точке А' пересек прямую А"О. Продолжая дальнейшее движение, он пересек также прямую ОВ" — окончание дуги АВ.

Дуга АВ разделена прямыми на четыре равных отрезка к, l, т, п. Прямые, разделившие дугу, продолжены до пересечения эквипотенциальной линии А" В" и также делят эту дугу на четыре Рис. 11. равных отрезка к", l", т", п". В пространстве отрезки k" = k = l′′ = l = т" = т = п" = п, как следствие пропорционального изменения напряженно­сти от точки О к периферии поверхности. Поскольку пропорциональность напряженности сохраняется на всей поверхности, то отрезок А'В' делится на четыре части к', l′, т', п′ так что: к' = l' = т' = п′ хотя по евклидо­вой и римановой геометрии к' ≠ п′.

Естественно также, что к = к' = к"; l = l' = l"; т = т' = т"; п = п' = п". То есть все отрезки равны между собой так, что отно­шение каждого из отрезков к длине соответствующего луча между эквипотенциальными дугами будет величи­ной постоянной. Именно это свойство напряженности пространства обусловливает образование пространст­венных ячеек — основных элементов динамической гео­метрии. Напряженность и изменение метричности (кри­визна относительно статичности) — это те факторы, которые не учитывались в теории кривизны ни Гауссом, ни Риманом. Отмечу, что кривизны поверхностей, а тем более кривизны объемов в пространстве не суще­ствует. А поскольку пространство отображает динами­ческую структуру реального мира, то эмпирическое подтверждение ее адекватности этому миру можно по­лучить прямо на поверхности Земли.

Приведу описание нескольких экспериментов, под­тверждающих такую возможность. В долине вблизи гор можно построить горизонтальную мерную милю из иде­ального материала длиной в 3 км (с точностью до 1 см). Произвести геодезическую съемку этой мили и перене­сти ее размеры не по отвесу на горное плато на высоту одного, а лучше 2 км, и там построить по теодолиту другую горизон­тальную мерную милю той же длины. Современные геодезические приборы позволяют провести операцию переноса на несколько десятков километров с точно­стью до 2-3 см. В соответствии с геометрией Евклида мили и в долине и на плато должны быть не одинаковой длины. Миля на плато на высоте 1 км будет на 47 см длиннее мили в долине, а на высоте 2 км – на 94 см.

Следует замерить милю в долине несколькими твёрдыми мер­ными линейками, проведя ими же в аналогичных усло­виях измерение мили на плато, убедиться, что она в точности, до ошибок измерения, равна миле в долине, а, следовательно, мерные линейки изменили свою длину.

Другой эксперимент: на горе с горизонтальным плато на высоте 2 км выложить горизонтально из 40-50 сталь­ных стержней длиной по 20-25 м (± 0,1 мм) единый стержень километровой длины. Отметки его концов пе­ренести теодолитом в долину под горой, потом разобрать конструкцию, перебросить ее в долину и вновь собрать. Согласно геометрии Евклида собранная конструкция должна быть длиннее отметок на 32 см. Однако длина стержней при из­мерении метром окажутся в рамках отметок ± ошибка измерения.

Наконец можно просто провести геодезическими при­борами измерение отрезка относительно горизонталь­ной поверхности в долине на длине 10 км и, замерив та­кую же длину, перенесенную теодолитом на плато на высоту 2 км, убедиться с достаточно грубым приближе­нием (± 25-30 см) в исчезновении при измерении отрез­ка почти трехметровой длины. (Можно предположить, что аналогичные нестыковки уже встречались карто­графам и геодезистам и не получали теоретического объяснения.)