Теоремалар

1. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функция осы нүктеде үзіліссіз.

Шынымен де, мұндағы , егер . Бұдан,

, егер .

2. Күрделі функциялардың туындылары. Егер функциясы нүктесінде диф-ференциалданатын, ал функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функциясы нүктесінде дифференциалданады және

, немесе

3. Кері функцияның туындысы. Егер функциясы үшін нүктесінде туындысы бар және ол нөлден өзгеше болатындай кері функциясы табылса, онда

.

4. және табылсын, ал - const. Онда

1. а) . Шынында да, 2. . б) .

3. в) . г) .

3.Туындының кестесі

- айнымалысына тәуелді функциялар, ал - тұрақты сандар болсын. Онда

3-формуланың дәлелдеуін келтірелік.

Мысал 2. Берілген функциялардың туындыларын тап:

а) . 2-ші формуладан .

б) . . 2-ші формуладан .

в) . . 2-ші формуладан .

г) . 11-ші формуладан .

3.1 айқын емес функциясын дифференциалдау

Берілген функцияның туындысын табу үшін -тің айнымалысына тәуелді функция екенін ескере отырып, теңдіктің екі жағын да дифференциалдаймыз.

Мысал 3. функциясының туындысын тап.

3.2 Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

айнымалысына тәуелді функциясы параметрлік түрде берілсін

.

функциясының кері функциясы бар болып, және функциялары дифференциалданатын функциялар, сонымен қатар, болсын. Онда .

Мысал 4. тап.

1. Функцияның дифференциалы

2.

болсын. Онда мұндағы , егер . Бұдан .

болсын. Онда теңдіктерден төмендегі теңдікті аламыз:

1. 2. 3.

4. немесе болсын. Онда - бірінші дифферен-циалдың формасының инварианттылық қасиеті. 5. болса. теңдігі орынды болғандық- тан, жуықтап есептеуде деп алуға болады, немесе

(5)

Мысал 5. есепте.

функциясын қарастыралық және деп алайық. ретінде санын аламыз. Онда .

. Онда (5)-тен .

5. Туынды және жоғарғы дифференциалдар

болсын. Егер болса, онда функциясының екінші ретті туындысы деп аталады және былай белгіленеді: . Яғни

немесе

Анықтама 5. функциясының -ші ретті туындысы деп -ші ретті туындыдан алынған туындыны айтамыз, яғни,

Мысал 6.

болсын. Онда функциясының екінші ретті диф-ференциалы деп аталады. Бұдан

.

Анықтама 6. функциясының -ші ретті дифференциалы деп -ші ретті дифференциалды тағы бір рет дифференциалдауды айтамыз және

(6)

(6)-дан

(7)

шығады. (6) және (7) теңдіктер айнымалысы тәуелсіз айнымалы болған жағдайда ғана ақиқат.

болсын. Онда .

,

яғни, дифференциалдың формасының инварианттылығы сақталмайды.

6. түріндегі анықталмағандықтарды ашу. Лопиталь ережесі.

Мысал 7.

(8)-ші формулада сол жағында шек болуы мүмкін, ал оң жағында шек жоқ.

Мысал 8.

- шегі жоқ.

1.1 түріндегі анықталмағындықтарды ашу.

болсын. Онда

а) . Бұл жағдайда, .

Мысал 9. .

б) . Онда .

Мысал 10. .

.

в) өрнегінен алатынымыз , және жағдайына келеміз. Егер теңдік-тің екі жағында логарифмдесек.

Мысал 11.

Немесе

Өзін-өзі тексеруге арналған тест сұрақтары:

1. функциясының туындысын табыңыз:

[А] 2

[В]

[С

[Д]

[Е] [+] .

2. функциясының туындысын табыңыз:

[А] [+]

[В]

[С]

[Д]

[Е]

3. функциясының туындысын табыңыз:

[А]

[В]

[С] [+]

[Д]

[Е]

4. функциясының туындысын табыңыз:

[А]

[В]

[С]

[Д][+]

[Е]

5. функциясының туындысын табыңыз:

[А] [+]

[В]

[С]

[Д]

[Е]

8-ші дәріс