Комплекс сандар

Анықтама 5. Комплекс сан деп түріндегі өрнекті айтамыз, мұндағы және нақты сандар, ал немесе теңдіктерімен анықталатын жорамал бірлік, сонымен қатар, комплекс санының нақты бөлігі, ал жорамал бөлігі деп аталады.?

Егер болса, онда орнына деп жазады және оның санынан ешбір айырмашылығы жоқ. Ендеше, нақты сандар комплекс санның дербес жағдайы.

саны жазықтығында нүктесі болып бейнеленеді.

саны

комплекс санының модулі деп, ал

комплекс санының аргументі деп аталады. Комплекс сандар жиыны мен

жазықтығының нүктелерінің арасында өзара-бірмәнді сәйкестік бар.

және

болғандықтан,

комплекс санын

түрінде жазуға болады, бұл

комплекс санының тригонометриялық формасы деп аталады.

Комплекс сандар арасындағы амалдар екені ескеріле отырып, жүргізіледі:

1. ,

2. ,

3. .

Тригонометриялық формадағы комплекс сандар үшін, яғни, және үшін төмендегі теңдік орынды:

1. ,

2. ,

3. - Муавр формуласы,

4. , , яғни, -нің әрқашанда әртүрлі мәні бар.

Анықтама 6. және сандары түйіндес деп аталады және .

Теорема 1. Егер нақты коэффициентті көпмүшеліктің саны түбірі болса, онда саны да осы көпмүшеліктің түбірі болады.

Мысал 1. квадрат теңдеуін шеш.

Дискриминант табамыз: . Онда

1-ші мысалдан байқайтынымыз, квадрат теңдеудің әрқашанда екі түбірі болады: нақты немесе комплекс. Егер оның түбірі комплекс сан болса, оның екінші түбірі осы комплекс санның түйіндесі болады.

Ары қарай бізге төмендегі көрсеткіштік функция қажет болады:

Егер болса, кәдімгі көрсеткіштік функциясын аламыз, ал егер болса, онда Эйлер формуласын аламыз

2. Нақты айнымалы функция

қандай да бір кеңістігіндегі нүктелер жиыны болсын.

Анықтама1. Егер әрбір нүктесіне (әрбір айнымалыларының жұптары үшін) айнымалысының анықталған белгілі бір мәні сәйкестікке қойылса, онда нүктесінің жиынындағы функциясы деп аталады ( тәуелсіз айнымалының функциясы) және былай белгіленеді

, ,

мұндағы функциясының анықталу облысы деп аталады.

Егер әрбір нүктесіне -тің тек бір ғана мәні сәйкестікке қойылса, онда бірмәнді функция, кері жағдайда – көпмәнді функция болады.

болғанда бір айнымалы функция аламыз , мұндағы -ны көбінде сандық түзуінің кесіндісі немесе интервалы ретінде қарастырамыз. болса, екі айнымалы функцияны аламыз , мұндағы -ны көбінде жазықтығының сызығымен (шекарасымен) шектелген бөлігі ретінде қарастырамыз. Егер болса, онда - -ның шекаралық нүктесі, ал егер және болса, онда - -ның ішкі нүктесі.

Егер облысының құрамына оның шекаралық нүктелерінің барлығы енетін болса, онда оны тұйық облыс деп атаймыз, кері жағдайда – ашық облыс деп атады. Егер , орындалатындай тұрақтысы табылатын болса, мұндағы координаттың бас нүктесінен нүктесіне дейінгі ара қашықтық, онда шектелген облыс деп аталады.

Функция әртүрлі түрде берілуі мүмкін, солардың негізгісі функцияның аналитикалық түрде берілуі (формула түрінде). Бұл жағдайда, көбінесе, әрине, функцияның анықталу облысын табу қажет болады.

Мысал 2. а) Бір айнымалы функциялар.

1. - тұйықталған облыс,

2. - ашық шексіз облыс.

б) Екі айнымалы функциялар.

1. . - центрі координатаның бас нүктесі, ал радиусы болатын тұйық дөңгелек.

2. . Бұл жерде : - жарты жазықтық, ашық шексіз облыс.

үшін функцияның графигі ұғымын -дегі координаталары теңдігін қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орны деп енгізуге болады. 4-ші дәрісте көрсетілгендей, бір айнымалы функцияның графигі жазықтығындағы сызық, ал екі айнымалы функцияның графигі кеңістігіндегі бет.

Бір айнымалы функцияларды қарастырайық.

Анықтама2. функциясы жұп функция [тақ функция] деп аталады, егер .?

Жұп функцияның графигі өсіне қарағанда симметриялы, ал тақ функцияның графигі координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы.

Мысал 3. - жұп функция, ал - тақ функция.

– -тің өзгеру облысы, ал - функциясының анықталу облысы болсын.

Анықтама.

3. функциясы периоды болатын периодты функция деп аталады, егер , болса.

4. функциясы кемімейтін [өспелі] немесе өспелі емес [кемімелі] функция деп аталады, егер үшін болғанда сәйкесінше теңсіздігі орындалса немесе теңсіздігі орындалса. Бұл функциялар бірсарынды деп аталады.

5. функциясы – бірмәнді функция. Онда болатындай, -ге сәйкестікке қоюға болады. Ендеше, функциясы анықталған және ол функциясына кері функция деп аталады.

Мысал 4. .

Егер кері функцияда пен -тің орнын ауыстыратын болсақ, онда кері функцияның графиктері түзуіне қарағанда симметриялы.

6. , ал болсын. Онда функциясын және функцияларының суперпозициясы немесе күрделі функция деп атаймыз.

7. Функция түрінде берілген болса, онда оны айқын емес функция деп атаймыз. Яғни, функциясы айнымалысы арқылы өрнектелмеген.

Мысал 5. , .

8. , , жүйесі берілсін. (3)

функциясының кері функциясы бар делік. Онда , яғни, айнымалысына тәуелді функция. (3) жүйесі айнымалысына тәуелді функциясының параметрлік түрде берілуі деп, ал - параметр деп аталады.

Мысал 6. .

9. функциясы шектелген деп аталады, егер , мұндағы - тұрақты сан.

10. Негізгі элементар функцияларға мыналар жатады: - дәрежеліе, - көрсеткіштік, - логарифмдік, - тригонометрия-лық, кері тригонометриялық функциялар.

2.1 Декарттық координаталар жүйесіндегі бір айнымалы функциялардың графиктері

функциясының графигі. Онда функциялардың графиктері:

а) - бейнесінің өсі бойынша шағылуы ,

б) - -ді өсі бойымен оңға [ өсі бойымен жоғары]

бірлік жылжыту;

в) - -ді өсі бойымен есе сығу немесе созу .

3. Полярлық координаталар жүйесі

Жазықтықтан кез келген бір нүктесін аламыз және осы нүктесінен сәуле жүргіземіз ( нүктесі – полюс, ал сәуле – полярлық өс) 1-сурет.

Онда жазықтықтағы кез келген нүктенің орны сандардың жұбы (полярлық координаталар) , мұндағы – полярлық радиус, ал , - полярлық бұрыш, яғни, полярлық өс пен -нің арасындағы бұрыш. Ал координаталар жүйесін полярлық координаталар жүйесі деп атаймыз. Енді, полярлық координаталар жүйесі мен декарттық координаталар жүйесі арасындағы байланысты табалық. Полюс декарттық жүйелер координатасының бас нүктесімен, ал полярлық өс - жарты түзуімен беттессін.

Онда декарттық координаталар жүйесінен полярлық координаталар жүйесіне көшу: , , , ал керісінше, , (2-сурет).

1-сурет.

2-сурет.

Полярлық координаталар жүйесінде кейбір қисықтардың теңдеулері ықшамды түрде болады:

3. Сандық тізбектер және оның шектері

- натурал сандар жиыны, - тұрақты, - тұрақтысына тәуелді нөмір болсын.

Анықтама:

11. Егер сәйкестікке шамасы қойылса, онда тізбегі берілген деп айтамыз.

Сандық тізбектерді қарастырамыз, яғни, - сандар. тізбегін функция деп есептеуге де болатыны анық, мұндағы – -ді -ге сәйкестікке қою заңы:

12. санын тізбегінің шегі деп айтамыз, егер үшін

, (4)

теңсіздігі орындалатындай табылса және деп белгілейміз де, -ға ұмтылады (жинақталады) деп айтамыз.

(4)-ті мына түрде жазуға болады: . Бұдан, жинақты болады дегеннен нүктесінің кез келген аймағының сыртқы жағында орналасқан нүктелерінің жиыны ақырлынемесе бос, ал ішінде орналасқан нүктелері-нің жиыны жиыны шектеусіз.

12-ші анықтамадан мынадай теореманы қорытындылауға болады:

Теорема 1. Жинақталған тізбек шектелген және оның тек бір ғана шегі бар.

Анықтама 13. Егер , мұндағы - тұрақты сан, - үшін теңсіздігі орындалатын нөмір, онда тізбегі -ке ұмтылады деп айтамыз және деп белгілейміз.

Теорема 2. Егер бірқалыпты болса, онда оның сәйкес жағынан шектеулі жинақтылықтың жеткілікті шарты.

Мысал 6. Мынадай тізбекті қарастыралық:

Ньютон биномын қолдана отырып, тізбегінің өспелі және жоғарғы жағынан 3 санымен шектелетіндігін көрсетуге болады. Онда 2-ші теоремадан оның жинақты екендігі шығады. Ол шекті әріпімен белгілейміз, яғни, , мұндағы

көрсеткіштік функциясы мен - натурал логарифмдік функция математикада өте жиі қолданылады.

тізбегі берілсін. Осы тізбектен нөмірлері болатын элементтерің шектеусіз жиынын таңдап аламыз. Егер тізбегі санына жинақталатын болса, онда оның кез келген ішкі тізбегі де жинақты болып, оның шегі осы саны болады.

-дегі нүктелерінің тізбегін қарастыралық.

Анықтама 14. нүктесін тізбегінің шегі деп айтамыз, егер .

Сонымен, тізбегінің нүктесіне жинақталуы сандық тізбегінің нөл тұрақтысына жинақталуымен анықталады. түзуінде теңдігі орындалатындықтан, 12-ші анықтаманы нүктелер тізбегінің нүктесіне жинақты болу анықтамасы деп айта аламыз.

түзуінің бойындағы нүктелер тізбектерінің шегінің геометриялық интерпрета-циясын жалпылай отырып: -дегі нүктесі нүктелер тізбегінің шегі болады, сонда және тек сонда ғана, егер нүктесінің кез келген аймағында осы тізбектің қандай да бір нөмірден бастап, барлық нүктелері жататын болса.

жазуын айнымалы нүктесінің координаталары барлық нүктелер нүктесіне жинақталатын сәйкес координаталарының мәндерін ғана қабылдайды деп түсінеміз.

үшін: .

үшін .

-дегі айнымалы нүктесінің нүктесіне ұмтылуы тек түзуі бойында ғана, ал -де, -нің -ге ұмтылу жолы шексіз жиын.

Өзін-өзі тексеруге арналған тест сұрақтары:

1. функциясының анықталу облысын табыңыз

[А]

[В][+]

[С]

[Д]

[Е]

2. функциясының анықталу облысын табыңыз

[А]

[В]

[С] [+]

[Д]

[Е]

3. комплекстік саны мынадай көрсеткіштік түрде былай жазылады

[А][+]

[В]

[С]

[Д]

[Е]

4. комплекстік саны мынадай тригонометриялық түрде жазылады

[А]

[В]

[С]

[Д]

[Е][+]

5. комплестік саны мынадай тригонометриялық түрде жазылады

[А]

[В]

[С]

[Д][+]

[Е]

6-шы дәріс

Функцияның шегі. Үзіліссіз функциялар

1. Функцияның шегінің анықтамасы.

-дегі нүктесінің қандай да бір аймағында, нүктесінің өзінде де, функциясы анықталған болсын.

Анықтама.

1. ( тілінде). саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады ( үшін), егер : , төмендегі теңдік орынды болса:

Мысал 1. Дәлелде:

.

Бұл нүктесінде анықталмаған бір айнымалы функция және

. болсын. Онда үшін

яғни, .

2. (тізбектер тілінде). саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер , мұндағы .

2-ші анықтамада тізбектер шегі ұғымынан функцияның шегі ұғымы шығады. 1-ші анықтама мен 2-ші анықтама эквивалентті. Дербес жағдайда, 1-ші анықтамадан екендігі шығады, егер нүктесінің маңайында нүктелер жиыны қоюлана түссе, онда -тің сәйкес мәндері мәнінің маңайында қоюлана түседі.

бір айнымалы функция шектерінің қасиеттерін қарастырайық.

3. Шексіз алыстатылған нүктелердің аймағының ішіндегі мынадай нүктелер жиынын азайта аламыз: .

4. санын функциясының ұмтылғандағы шегі деп айтамыз, егер теңсіздігі орындалатындай .

Ары қарай, ақырлы да, шексіз де болуы мүмкін.

5. ұмтылғанда деп айтамыз, егер теңсіздігі орындалатындай .

6. өрнегін функциясының ұмтылғандағы сол жақ шегі [ ] оң жақ шегі] деп айтамыз., егер айнымалысы -ға ұмтыла отырып, әр уақытта -дан кіші (үлкен) болып отырса.

Егер теңдігі орындалса, орынды екені анық.

1.1 Шектердің қасиеттері

1. болсын және нүктесінің қандай да бір аймағында

а) . Онда .

б) . Онда .

2. Тұрақтының шегі осы тұрақтының өзіне тең.

3. Егер және шектері ақырлы болса, онда:

а) ,

б)

в) Егер , онда ,

г) , егер .

Ескерту 1. Жоғарыда көрсетілген функцияның шектерінің қасиеттері тізбектің шектері үшін де орынды.

3.2. Шексіз кіші және шексіз үлкен функциялар

Анықтама 7. функциясы ұмтылғанда шексіз кіші (үлкен) деп аталады, егер .