2015-06-04
1696
1.Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар.
2.Функцияны зерттеу.
- Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар.
Анықтама 1. 
функциясы 
нүктесінде локальді максимумге (минимумге) жетеді деп айтамыз, егер 
аймағы табылып, төмендегі теңдік орындалса:
Локальді максимум (max) және минимум (min) функцияның экстремумдары деп аталады.
Теорема1.(Ферма). Егер 
болып және 
нүктесінде экстре-мумы бар болса, онда
(1)
Дәлелдеуі. 
(2)
15-сурет
|  нүктесі максимум нүктесі болсын. Онда ең кіші  үшін  . (2)-ден  үшін  , ал  үшін  . Бұдан,  . Ферма теоремасының геометриялық мағынасы:  функциясы-ның экстремум нүктесінде жүргізілген жанама  өсіне параллель.
Бұл  нүктесінде экстремум болуының қажетті шарты, бірақ жеткілікті шарты емес.  нүктесі 
|
функциясының (Мысал 1б, дәріс 7) экстремумы болмайды, 
теңдігі орындалса да. Сонымен қатар, экстремум туындысы табылмайтын нүкте болуы да мүмкін, 
функциясында (Мысал 1в, дәріс 7) 
нүктесі бұрыштық нүкте, 
болса да.
|
|
|
Анықтама 2. Функцияның туындысы нөлге тең немесе үзіліс нүктелері болатын нүктелер кризистік (стационар) нүктелер деп аталады.
Теорема 2. (Ролль). Егер функциясы 
сегментінде үзіліссіз және ең болмағанда 
интервалында ақырлы туындылы болып, 
теңдігі орындалса, онда орындалатындай 
.
Дәлелдеуі. функциясы сегментінде үзіліссіз болғандықтан, функциясы осы аралықта өзінің ең кіші мәні 
мен ең үлкен мәні 
-ді қабылдайды. Онда, егер 
аралығында 
. 
болсын және 
. Онда 
және 
нүктелерінің біреуі интервалының шеткі нүктелеріне тең емес. Ол нүкте 
нүктесі болсын. Ендеше, нүктесі экстремум нүктесі болғандықтан, 
.
Теорема 3 (Коши). Егер аралығында 
және 
болса, онда 
.
Келесі теорема 3 теореманың салдарлары сияқты қарастырылады.
