Теорема 3 Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттерi

9 10 11 12 13 14 15

берілсін. Онда егер

1. егер , және егер болғанда экстремумы табылады.

2. болғанда эстремумы жоқ.

3. болса экстремумы табылады немесе табылмайды.

Мысал 6. функциясын экстремумға зертте.

Екі кризистік нүкте аламыз.

нүктесін қарастыралық

Сонымен, нүктесінде функциясының минимумы бар.

нүктесін қарастырайық, онда берілген функцияның нүктесінде экстремумы жоқ.

Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттерi.

Жанама жазықтық және нормаль

Бағытбойыншатуынды. аймағындаүзiлiссiзжәнебарлықбiрiншiдербестуындыларыдаүзiлiссiзболатын үшайнымалыфцнкциясыберiлсiн. жәнебағыттаушыкосинустары болатын векторынқарастырайық векторында, оныңбасынан қашықтықтағы нүктесiнбелгiлеймiз. Онда

болады да функциясының толық өсiмшесiн

түрiнде жаза аламыз. Мұндағы ұмтылса шамалары нөлге ұмтылады. (1) теңдiктiң барлық мүшелерiн -ке бөлейiк

Мұнда

, ,

болатыны айқын. Сондықтан (2)-нi келесi түрде жаза аламыз

нөлге ұмтылғандағы қатынасының шегi функциясының нүктесiндегi вектор бағыты бойынша туындысы деп аталады да арқылы белгiленедi.

(3) теңдiктен нөлге ұмтылдыра отырып, шекке өтсек

аламыз.

Градиент. функциясының нүктесiндегi градиентi деп арқылы белгiленетiн

түрiндегi векторды айтады.

10-шы дәріс

Алғашқы функция және анықталмаған интеграл.

1. Анықталмаған интеграл.

Анықтама. Егер аралығында берілген функциясы үшін

теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы бейнесі (образы) деп аталады.

Басқаша айтқанда, берілген функцияның алғашқы бейнесін табу – оның туындысын табуға кері есеп болып саналады.

1-теорема. Егер және функциялары берілген функциясының алғашқы бейнелері болса, онда аралығынан С саны табылып теңдеуі орындалады.

Анықтама. аралығындағы функциясының алғашқы бейнелерінің жиыны осы функцияның анықталмаған интегралы деп аталады.

Оны символымен белгілейді, мұндағы интеграл белгісі, - айнымалысының дифференциалы, - интеграл астындағы өрнек. Егер функциясының алғашқы образы болса, онда

1.1 Анықталмаған интегралдардың қасиеттері

Төмендегі жазылған интегралдардың бәрі бар болады деп ұйғарамыз.

1) ; .

2) ; .

Бұл қасиеттердің бәрі анықталмаған интегралдың анықтамасынан келіп шығады.

3) Егер - тұрақты сан болса, онда .

Бұл теңдіктің дұрыстығын білу үшін екі жағын да дифференциалдаймыз.

5) Егер , - сандар, онда

Практикалық интегралдау үшін келесі интегралдар кестесін жатқа білген жөн

1.2 Анықталмаған интегралдардың негізгі кестесі

. 3.

. 4.

. 5.

. 6.

. 7.

. 8.

. 9.

. 10.

. 11.

12.

. 13.

. 14.

. 15.

. 16.

. 17.

. 18.

. 19.

. 20.

Кестедегі кез келген интегралды тексеру үшін теңдіктің оң жағынан туынды алу керек.

2. Айнымалыны ауыстыру және орнына қою әдісімен функцияны интегралдау. Рационды бөлшектерді интегралдау. Интегралдаудың негізгі әдістері

2.1 Анықталмаған интегралдағы айнымалыларды ауыстыру

1-теорема. Егер функциясы үзіліссіз, ал үзіліссіз дифферен-циалданатын болса, онда

. (1)

Бұл теңдікті мына интеграл түрінде жазуға болады

2.2 Дифференциал астына енгізу әдісі

Бұл әдіс айнымалыны ауыстыру сияқты жиі қолданылады. Интеграл астындағы функцияның көбейткіштерінің біреуін белгісінің астына жазамыз да оны жаңа айнымалы ретінде қарастырамыз. Еске сала кетейік, функциясын таңбасының астына жазғанда таңбасынан кейін функцияның алғашқы бейнесі жазылады, яғни .

Салдар. Айталық және функциялары ұзіліссіз болсын, онда

(2)

2.3 Бөліктеп интегралдау әдісі.

Теорема 2. және функциялары үзіліссіз дифференциалданатын болсын, сонда

. (3)

Соңғы формуланы көбінесе қысқаша түрде былай жазады

, ()

Мұндағы және көбейткіштері дифференциал таңбасы астына енгізілген.

Квадрат үшмүшелігі бар функцияларды интегралдау

Мына төмендегі интегралдарды табу әдісін қарастырайық

және .

. квадрат үшмүшелігіндегі коэффициентін жақша алдына шығарып және одан талық квадратты бөліп аламыз:

мұндағы .

Енді интегралға , ауыстыруын енгізелік

немесе .

Бұл интегралды алымындағы қосылғыштарға сәйкес екі интегралдың қосындысы етіп жазамыз. Бірінші интегралға алмастыруын жасаймыз. Сонымен екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді.