Лекция. Таќырыбы:Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі

Таќырыбы: Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі. Векторлық және аралас көбейтіндіні координаталар арқылы өрнектеу.

1-анықтама. векторының векторына векторлық көбейтіндісі деп, мынадай үш шартты қанағаттандырытын векторын айтады:

1. Вектор және векторларына перпендикуляр, яғни ;

2. Көбейтінді векторының ұзындығы көбейткіш және векторларда құралған параллелограмның ауданына тең, яғни

3. Көбейтінді векторының ұшынан қарағанда бірінші көбейткіш векторынан екінші көбейткіш векторына қарай кіші бұрыш жасап айналу бағыты сағат тілінің бағытына қарсы орындалады (6.1-сурет).

Сурет.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі немесе деп белгіленеді, яғни .

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері.

1⁰. . Шынында, және векторларының ұзындықтары бірдей және коллинеар болады, себебі және векторлары жатқан жазықтыққа перпендикуляр. Бағыттары қарама-қарсы (анықтама бойынша) (6.1-сурет).

2⁰. Егер және коллинеар векторлар болса, онда .

Шынында, егер және коллинеар векторлар болса, онда Сонда Демек, векторларының ұзындығы нөльге тең. Бұдан векторы нөль вектор екендігі шығады.

3⁰. .

4⁰. .

Теорема. Егер тік бұрышты координаттар системасында және векторлары координаталары арқылы берілген болса, онда сол системадағы векторлық көбейтіндінің сызықтық жіктелуі мына түрде болады:

(6.1)

Бұл өрнекті символды түрде үшінші ретті анықтауыш арқылы былай жазады:

(6.2)

Анықтауышты бірінші жатық жолы бойынша жіктесек, төмендегіше болады:

Дәлелдеуі. Базистік векторлардың анықтамасы бойынша және векторлық көбейтіндіні 1⁰ және 3⁰ қасиеттерін пайдалансақ, мынадай теңдіктерді аламыз:

Енді 4⁰ қасиетін және жоғарыдаға алынған теңдіктерді ескерсек (6.1) формуланы аламыз:

Екі векторлық көбейтіндісінің 2⁰ қасиетін пайдалансақ, екі вектордың коллинеарлық шарты былай жазылады:

1-мысал. Төбелері болатын үшбұрыштың ауданын және қабырғасына түсірілген биіктігінің ұзындығын есептеу керек (6.2-сурет).

в д

h_B

_{А Е С}

Сурет.

Шешуі. үшбұрышының ауданы параллелограмның ауданының жартысына тең болғандықтан: ол үшбұрыштың ауданы және векторларының векторлық көбейтіндісінің модулінің жартысына тең болады:

Бұл векторлардың векторлық көбейтіндісін (12) формула бойынша есептейміз.

Үшбұрыштың ауданын формуласына биіктігін табамыз:

2-мысал. және векторлары берілген. Мұнда . мен векторлары арқылы тұрғызылған параллелограмның ауданын табу керек.

Шешуі. Векторлық көбейтіндінің анықтамасын және қасиеттерін пайдаланамыз:

3-мысал. және векторлары мен қандай мәндерінде коолинеар болады?

Шешуі. Екі вектор коллинеар боу үшін оның сәйкес координаталары пропоционал болуы қажет:

Демек,

Дәл сол сияқты

4-мысал. Егер және болса, онда және векторлары коллинеар бола ма?

Шешуі. және векторларының координатасын берілген амалдарды орындап табайық:

=4(-1, 2, 8)-3(3, 7, 1)=(-4, 8, 32)-(9, 21, -3)=(-13, -13, 36),

9(3, 7, -1)-12(-1, 2, 8)=(37, 63, -9)-(-12, 24, 96)=(39, 39, -105).

Сәйкес координаталары пропоционал болғандықтан және векторлары өзара коллинеар.

Үш вектор бойынша сипаты әртүрлі бірнеше көбейтінділер құруға болады.

1. Екі вектор скаляр көбейтіліп, одан шыққан скаляр үшінші векторға көбейтіледі. Егер көбейткіш векторлар болса, онда мұндай көбейтінді былай белгіленеді: . Көбейтіндінің нәтижесінде векторына коллинеар вектор шығады.

2. Үш вектордың аралас көбейтіндісі. Үш вектордың аралас көбейтіндісі деп, екі вектордың векторлық көбейтіндісі үшінші векторға скаляр көбейткенде айтады.

Егер көбейткіш векторлар болса, аралас көбейтінді немесе түрінде жазылады. Аралас көбейтіндінің нәтижесі скаляр шама болады, оның абсолют шамасы берілген үш вектордан құралған параллелепипедтың көлеміне тең, яғни .

Егер үш көбейткіш вектор оң система құрса, онда аралас көбейтіндінің нәтижесі оң сан, ал егер сол система құрса, нәтижесінде теріс сан болады.

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

1⁰.

2⁰.

3⁰. Егер және векторлары коллинеар болса, онда .

Теорема. Тікбұрышты координаттар системасында векторларының координаталары белгілі болса, онда олардың аралас көбейтіндісі сол векторлардың координаталарынан құралған үшінші ретті анықтауышқа тең болады:

.

Дәлелдеуі. болғандықтан, екі вектордың векторлық көбейтіндісі бойынша:

.

Енді векторын векторына скаляр көбейтсек:

.

3.Үш вектордың екі еселі векторлық көбейтіндісі. Үш вектордың екі еселі векторлық көбейтіндісі деп, екі вектордың векторлық көбейтіндісін үшінші векторға векторлық көбейткенді айтады да, былай белгілейді .

Екі еселі векторлық көбейтіндіні табу үшін, оны үш вектордың көбейтіндісінің бірінші түріне келтіру формулаларын пайдаланады, яғни

немесе

1-мысал. векторлары өзара компланар ма, жоқ па?

Шешуі. Үш вектордың компланарлығының шарты олардың аралас көбейтіндісінің нөльге тең болуы:

Демек, берілген векторлар компланар екен.

2-мысал. және нүктелері бір жазықтықта жата ма?

Шешуі: және векторларын қарастырамыз. нүктелерінің бір жазықтықта жату шарты векторларына компланар болу шартымен бірдей. Сондықтан векторларының аралас көбейтіндісін есептейік:

Демек, нүктелері бір жазықтықта жатыр.

3-мысал. векторын мүмкін болса және векторлары бойынша жіктеу керек.

Шешуі: кеңістікте базис құрайтын болса, онда есептің шешімі болады. Бұл векторлар базис құру үшін олардың компланар болмауы керек. Сондықтан ол векторлардың аралас көбейтіндісін есептейік:

.

Демек, векторлары базис құрайды. Сондықтан векторын векторларлары бойынша жіктеуге болады, яғни болатындай сандарын табуға болады. Соңғы теңдікті координаталар түрінде жазсақ болады.

Бұдан мынадай теңдеулер системасын аламыз:

Бұл теңдеулер системасын Крамер формуласын пайдаланып шешейік:

Демек, векторы векторлары бойынша былай жіктеледі:

.

4-мысал. Төбелері А₁(1, -1, 2), А₂(2, 1, 2), А₃(1, 1, 4) және А₄(6, -3, 6) нүктелері болатын тетраэдрдің көлемін және А₄ нүктесінен А₁А₂А₃ жағына түсіретін биіктігін табу керек.

Шешуі. Тетраэдрдің төбесінен шығатын , , векторларын қарастырамыз. Бұл векторлардың аралас көбейтіндісін геометриялық мағынасы бойынша векторлары арқылы құралған параллелепипед көлемін табамыз:

Сонда тетраэдрдің көлемі .

Екінші жағынан . Сонда . -ді табу үшін және векторларын қарастырамыз. Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің геометриялық мағынасы бойынша:

.

Демек,