Уравнение с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение вида

М (х) dх + N (y) dу = 0 (1)

называется уравнением с разделёнными переменными.

Решение. Из (1) следует: M (x) dx = - N (y) dy

В левой части этого уравнения стоит дифференциал функции от x, а в правой части дифференциал функции от y. Из равенства этих дифференциалов заключаем, что сами функции могут отличаться друг от друга лишь произвольным постоянным слагаемым.

Поэтому - общее решение данного уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения:

x × dx + y²dy = 0

Решение.

3x² + 2y³ = c Þ y = - общее решение данного уравнения.

Определение. Уравнение вида:

M_I (x) N₁ (y) dx + M₂(x) N₂ (y) dy = 0 (2)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Решение. Уравнение (2) может быть приведено к уравнению (1) с разделёнными переменными путём деления обеих частей его на выражение N₁ (y) M₂ (x):

dx + dy = 0

dx + dy = 0, т.е. к уравнению (1), решать которое мы уже умеем.

Замечание. Уравнение с разделяющимися переменными может быть записано в виде, разрешённом относительно y'. Тогда оно имеет вид:

y' = p (x) × q (y)

Действительно, разделив уравнение (2) на M₂ (x) N₂ (y) dx, получим:

или y' = - ×

Обозначив, p (x) = - , q (y) = ,

получим y' = p (x) q (y)

Пример. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию: xy' + y = 0, y

Решение. x или xdy + ydx = 0

+ = - ; ln = - ln + ln ;

ln = ln Þ x = Þ

	y =

- общее решение данного уравнения.

Чтобы найти произвольную постоянную C, подставим начальное условие:

Найденное C подставим в общее решение и получим:

	y =

-частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию.

Итак, для решения уравнения с разделяющимися переменными его необходимо преобразовать в уравнение с разделенными переменными.