Метод И.Бернулли

Решение уравнения (6) может быть сведено к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными. Для этого положим y = u × n (7), где u = u (x), n = n (x) – непрерывные и дифференцируемые функции.

Чтобы, (7) было решением, необходимо, чтобы это равенство удовлетворяло уравнению (6).

Найдём y¢ = u¢n + n¢u и подставим в (6)

u¢ n + n¢u + P (x) × u × n = Q (x) или

u¢n + u (n¢ +P (x) × n) = Q (x) (8)

Имеем одно дифференциальное уравнение (8), содержащее две неизвестных функции. Так как число неизвестных больше числа уравнений, то одно неизвестное можно выбрать произвольно. Выберем n (x) так, чтобы скобка в (8) обратилась в нуль, т.е положим

n¢ + P (x) n = 0 (9)

Тогда уравнение (8) примет вид:

u¢n = Q (x) (10)

Из уравнения (9) найдём V (x). Это уравнение с разделяющимися переменными:

= - P (x) × n; = - Þ ln = -

V = e ^- .

Найденное n подставим в уравнение (10):

u =

× Q (x) dx + c

u¢e ^-

= Q (x)

du = e × Q (x) dx Þ

Найденные u и n подставим в (7) и получим общее решение линейного уравнения (6).

y = .

Замечание. 1. Находя n, мы не ввели произвольную постоянную, так как использовали произвол в выборе n, т.е. положили с = 0, тем самым взяли частное решение уравнения (9).

Замечание. 2. Уравнение R (x) y^' + P (x)y = Q (x), где P (x), R (x) – непрерывные функции, также является линейным и приводится к виду (6) после деления на R (x).

Замечание. 3. Дифференциальное уравнение может быть линейным относительно x и x ^' как функций от y, т.е. иметь вид:

x^¢ + P (y) x = Q (y)

Решение по методу Бернулли:

x = u × n, где u = u (y), n = n (y)

Пример. Найти общее решение уравнения:

cos x × y¢ + sin x × y = 2 ^x cos x ² x