Определение. Функция f (x, y) называется однородной n –ого измерения относительно переменных x и y, если при любом l справедливо тождество: f (lx; ly) = lк f(x; y)
Пример. 1) Функция f (x, y) = - однородная функция второго измерения.
Действительно, f (lx; ly) = = = l2 f (x, y). Итак, f (lx; ly) = l2 f (x, y); n = 2
2)Функция f (x, y) = - однородная функция нулевого измерения.
Действительно, f (lx; ly) = = = =
= f(x,y), т.е. f (lx; ly) = f (x, y); n = 0
Определение. Уравнение первого порядка y' = f (x, y) (3) называется однородным, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.
Решение. По условию f (lx; ly) = f (x, y).
Положив в этом тождестве l = , получим f (x, y) = f (1; ), т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (3) примет вид:
y' = f (1; ), (4).
Сделаем подстановку: u = , т.е. y = ux.
Тогда y' = xu' + u, и уравнение (4) примет вид:
u' x + u = f (1; u).
Это уравнение с разделяющими переменными.
x = f (1; u) – u или =
Интегрируя, найдём: = .
Обозначим F (u) = .
Предыдущее равенство тогда перепишется так:
F (u) = ln + C
Подставим вместо u отношение , получим интеграл уравнения (3):
|
|
F () = ln + C
Пример. Найти общее решение уравнения:
y¢ = ; f (x, y) = - однородная функция нулевого измерения относительно x и y. Сделаем подстановку = u, т.е. y = ux. Тогда
y¢ = x + u; x + u =
x + u = ; x = - u; x = ;
x = ; x (1 – u2) du = u3 dxô: u3 x
du = = .
Интегрируя, находим:
- - ln = ln + ln ; - = ln
Подставляя u = , получим общий интеграл исходного уравнения.
- = ln ; x2 = -2y2 ln ; y2 = - ; y =
- общее решение.
Замечание. Уравнение M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (5) будет однородным в том случае, когда M (x, y), N (x, y) являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.
Пусть M (x, y), N (x, y) – однородные функции одного и того же измерения n, т.е. M (lx; ly) = ln M (x, y); N (lx, ly) = ln N (x, y).
Тогда, разделив обе части уравнения (5) на N (x, y) dx, получим:
;
т.е. y¢ = f (x, y), где f (x, y) = - - однородная функция нулевого измерения, так как
f (lx; ly) = - = - = - = f (x, y).
Пример. Найти общее решение уравнения (x2 + y2) dx – 2xy dy = 0
Данное уравнение однородное. Функции M (x, y) = x2 + y2; N (x, y) = - 2xy – однородные функции второго измерения. Найдём общее решение этого уравнения.
Данное уравнение разделим на 2xy dx и получим:
,
Сделаем подстановку u= , т.е. y = ux, тогда
+ u.
Подставим всё это в уравнение:
; - u;
Делим переменные:
= Þ - ln = ln + ln ;
ln + ln + ln = 0; ln = 0
xc (1 – u2) = 1; xc (1 - ) = 1;
c (x2 – y2) = x; cx2 - cy2 = x; cx2 – x = cy2.
y = ± - общее решение данного уравнения.
Итак, для решения однородных дифференциальных уравнений необходимо произвести подстановку и преобразовать это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
|
|