Комплексные числа

Появление комплексных чисел связано с расширением понятия числа и возможностью выполнения различных математических действий.

Во множестве натуральных чисел выполнимы только сложение и умножение. Деление натуральных чисел приводит к дробным числам, появляется множество рациональных чисел. Вычитание натуральных чисел потребовало введения отрицательных чисел. Несоизмеримость некоторых отрезков с единицей длины приводит к появлению иррациональных чисел.

Числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные получили общее название действительных или вещественных чисел.

Дальнейшее развитие алгебры привело к невозможности операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Уравнение вида x² – 1 = 0 имеет решение в виде действительной единицы (x² = 1, x =± , x = ±1). Уравнение вида x² + 1 так же должно иметь решение (x² = -1, x = ± ) и поэтому необходимо ввести новую единицу. Было принято обозначение или i² = -1. Тогда уравнение x² + 1 = 0 имеет решение в виде x = ±i. По исторической традиции i назвали мнимой единицей, появилось понятие комплексного числа.

Рассмотрению таких чисел, их различным представлениям посвящена данная тема. Необходимость изучения комплексных чисел связана с широким использованием их при анализе гармонических колебаний и в других практических приложениях.