Передаточные функции, уравнение динамики, характеризует изминение сигнала при прохождение через систему

Передаточной функцией системы называется отношение изо­бражения выходной величины к изображению входной величины:

Для получения выражения передаточной функции к дифференци­альному уравнению применяют операцию прямого преобразования Ла­пласа. Пусть динамические свойства системы описываются обыкновен­ным дифференциальным уравнением второго порядка

Воспользуемся основными свойствами преобразования Лапласа и применим операцию прямого преобразования к уравнению (8.36) при нулевых начальных условиях:

Символ p – алгебраическая величина. В левой части уравнения выносим общий множитель Y(p), и ре­шаем уравнение относительно изображения выходного параметра:

В соответствии с приведенным выше определением записываем выра­жение для передаточной функции системы:

Частное решение дифференциального уравнения (8.36) возможно при задании входного воздействия x (τ). Обычно системы исследуют при подаче на вход типового апериодического воздействия, в резуль­тате которого система переходит из одного равновесного состояния в другое.

Передаточные функ­ции систем могут быть найдены по уравнениям динамики и по передаточным функциям звеньев системы.

По уравнению динамики передаточные функции находятся следую­щим образом. Применяется прямое преобразование Лапласа получаем дифференциал в операторной форме.

(1.36)

Или обычная полиномы в левой и правой частях уравнение через D(p) и K(p), получим

D(p)y=K(p)x+U(p), где (1.37)

U(p) – полином, определяемый начальным условиями системы. Пологая в уравнениях (1.36) и (1.37) начальные условия нулевыми (при U(p)=0), из равенства W(p)=Y(p)/X(p) (1.34) и (1.37)

Получим выражение для передаточной функции системы

(1.38)

Таким образом, передаточная функция систем, движение которых описывается уравнениями типа (I,6), является дробно-рациональной функци­ей независимого переменного р. В реальных системах автоматики степень полинома знаменателя в выражении (1,38) всегда выше или равна степени полинома числителя, т. е. п≥т. Корни полинома числителя передаточной функции называют нулями, а корни полинома знаменателя — полюсами. При р = 0 передаточная функция системы вырождается в обычный коэффициент усиления системы.

Отметим, что передаточная функция системы может быть также опре­делена, как отношение полиномов правой и левой частей уравнения (I,9).