Восстановление исходного аналогового сигнала из цифрового

Для ввода сигнала с аналогового датчика в цифровую систему непрерывный сигнал должен быть продискретизирован по времени и амплитуде, а затем представлен двоичным кодом. Но в цифровых системах часто возникает и обратная задача – восстановление аналогового непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам. Такая необходимость возникает на выходе цифровых каналов передачи сигналов, на выходе цифровых систем обработки информации (например, при выдаче управляющих воздействий на аналоговые исполнительные механизмы).

Для восстановления аналогового непрерывного сигнала необходимо, прежде всего, подать последовательность цифровых отсчетов на ЦАП (рис.), а затем полученный на его выходе электрический дискретный и квантованный сигнал пропустить через ФНЧ.

Если спектр исходного сигнала был ограничен частотой F_В, то частота среза ФНЧ выбирается равной F_В. Частота дискретизации F_Д при этом должна была быть взята в соответствии с теоремой Котельникова равной 2F_В.

Однако, все рассмотренное выше основывалось на некоторых идеализированных условиях. Рассмотрим некоторые проблемы, возникающие в практических применениях.

То как будет выглядеть спектр сигнала после дискретизации на рис. показано при условии что частота дискретизации F_Д по крайней мере в два раза выше наивысшей частоты спектра.

Если уменьшать частоту дискретизации F_Д, то частичные спектры будут «сходиться» по частотной оси, а при выборе частоты дискретизации F_Д непозволительно низкой, они будут перекрываться (рис.). При этом восстановить спектр исходного сигнала уже не получится.

Рис. Наложение частичных спектров друг на друга, если F_В > F_Д/2

Исходя из этого определяется минимально допустимая частота дискретизации F_Д. В соответствии с рассмотренным перефразируем теорему Котельникова следующим образом. Для того чтобы иметь возможность восстановить исходный сигнал после его дискретизации без искажений необходимо, чтобы частота дискретизации F_Д была бы по крайней мере в два раза выше частоты F_В наивысшей спектральной составляющей, присутствующей в исходном сигнале.

Обратим внимание, что в соответствии с нашими прежними рассуждениями, разговор идет не только о возможности восстановления сигнала. Невозможность восстановления сигнала после дискретизации означает потерю информации, которую он нес. Т. е. рассмотренные выше условия определяют минимально допустимую частоту взятия отсчетов исходного непрерывного сигнала при вводе их в цифровую вычислительную систему.

Рис. Определение предельной частоты дискретизации

для восстановления спектра исходного сигнала

Как видно из рис. предельная частота дискретизации F_Д, при которой перекрытия частичных спектров еще не происходит, равна удвоенной верхней частоте спектра сигнала, т. е. равна 2F_B. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретизация с частотой Найквиста называется предельной дискретизацией. Очевидно, что при выборе частоты дискретизации равной частоте Найквиста АЧХ такого фильтра должна быть идеальной (как это и показано на рис.). Норберт Винер сказал по поводу создания идеальных фильтров следующее: «Ни один из фильтров, отвечающих условию причинности, не может иметь бесконечного затухания в конечной (ненулевой) полосе частот. Идеальный фильтр физически неосуществим из-за самой его сущности, а не по причине отсутствия необходимых технических средств».

Сигнал, дискретизированный с F_Д > 2F_B, называется передискретизированным сигналом. Несмотря на то, что в этом случае получается избыточное число отсчетов, на практике частоту дискретизации F_Д выбирают именно так. Дискретизация с такой частотой разносит частичные спектры относительно друг друга по частотной оси на большее расстояние. При этом между наивысшей частотой спектра исходного сигала F_В и половиной частоты дискретизации F_Д/2 будет некоторый интервал, в который можно «поместить» срез АЧХ ФНЧ. Чем больше этот интервал, тем меньше требований к фильтру. Требования к АЧХ аналогового фильтра на входе дискретизатора будут зависеть от того, как близко частотные составляющие частичных спектров (внеполосного сигнала) отстоят от F_Д/2, а также требуемой величиной их подавления.

Построение аналоговых фильтров высокого порядка связано с известными трудностями – требуется применение прецизионных пассивных элементов и высококачественных операционных усилителей с хорошей температурной и временной стабильностью. Кроме того, надо иметь в виду, что всякий фильтр высокого порядка обладает существенно нелинейной фазовой характеристикой.

Передискретизация позволяет значительно снизить требования к характеристике аналогового ФНЧ. Даже удвоение F_д дает возможность сделать срез его АЧХ довольно пологим (рис. а). А при увеличении частоты дискретизации в четыре (рис..б) и более раз, требования к аналоговому ФНЧ снижаются до вполне заурядных.

Рис. Требуемые АЧХ аналоговых фильтров после двукратного (а) и

четырехкратного (б) повышения частоты дискретизации

Чтобы облегчить требования к фильтрации преобразованного сигнала, перед ЦАП можно разместить цифровой фильтр. Выполнить такой фильтр с нужными характеристиками значительно проще, чем аналоговый. Он может иметь достаточно высокий порядок и при этом обладать линейной фазовой характеристикой.

Характеристика цифрового фильтра, как и спектр цифрового сигнала, тоже имеет периодическую структуру и тоже повторяется на частотах, кратных частоте дискретизации. Поэтому, если цифровой фильтр будет работать на частоте дискретизации F_Д, то подавить высокочастотные компоненты все равно не удастся.

Проблема может быть решена путем искусственного увеличения частоты дискретизации F_Д в несколько раз. При этом недостающие значения сигнала вычисляются по известным значениям методами интерполяции (рис.). Фактически речь идет о «сглаживании» цифрового сигнала перед его подачей на ЦАП, Так как число уровней дискретных отсчетов на выходе цифровой системы при этом увеличивается, то и разрядность ЦАП должна быт увеличена.

Рис. Повышение частоты дискретизации с помощью интерполяции

Другое допущение, сделанное выше для более простого рассмотрения теоремы Котельникова и также отраженное на рис., состоит в том, что спектр исходного сигнала ограничен, или как еще говорят, является финитным.

Спектры реальных сигналов в большинстве своем не являются строго финитными функциями, т. е. являются неограниченными по протяженности (рис. а). В этом случае выбор верхней граничной частоты F_В является условным. Если продискретизировать непрерывный сигнал с не финитным спектром, то спектр этого сигнала после дискретизации будет выглядеть так, как показано на рис. б.

Рис. Не финитный спектр исходного сигнала (а) и спектр такого сигнала

после дискретизации (б).

Из сделанных ранее рассуждений видно, что при дискретизации сигнала с неограниченным спектром периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией, будет сопровождаться эффектом наложения друг на друга (или элайзингом от анлг. «aliasing») частичных спектров своими «хвостами».

В силу неограниченной протяженности исходного спектра этот эффект принципиально неустраним при любой частоте дискретизации F_Д. Однако иногда этим эффектом пренебрегают. Дело в том, что если рассматривать спектры сигналов, с которыми приходится иметь дело на практике, то оказывается – большинство сигналов сильно ограничены в области высоких частот. Поэтому при выборе достаточно высокой частоты дискретизации эффект наложения после восстановления спектра приводит к достаточно незначительным погрешностям.

Эти погрешности можно дополнительно ограничить. Для ослабления эффекта наложения сигнал перед дискретизацией пропускают через ФНЧ с целью подавления высокочастотных составляющих сигнала выше частоты F_В = F_Д /2, чтобы не допустить их свертывание в информационную часть спектра. С одной стороны пропускание сигнала через фильтр можно рассматривать как действия, меняющие его форму – фактически искажающие исходный сигнал. Однако, в данном случае очевидно, что такие преобразования в конечном итоге приведут после восстановления спектра в нужной полосе пропускания к меньшим погрешностям, чем в случае когда будет сказываться эффект наложения. Фильтры низких частот, ограничивающие в системах цифровой обработки сигналов перед выполнением дискретизации сигнала его спектр, называются антиэлайзинговыми.