Квантование во времени и по уровню. Преобразование спектра при цифровом представлении сигнала

Шум опорного напряжения

Это второй важный аспект опорного напряжения. Численная величина шума выражается среднеквадратическим значением или размахом. Если источник опорного напряжения имеет 2,5 В с размахом шума 500 мкВ (или среднеквадратичным значением 83 мкВ), этот шум составляет 0,02% и снижает уровень точности до 12 разрядов еще до выполнения каких либо операций по аналого-цифровому преобразованию.

2.1 Квантование [Д10]

На рис.2.1 приведены типовые формы сигналов при аналого-цифровом преобразовании. На рис.2.1а приведен аналоговый сигнал, который подвергается преобразованию – это напряжение, изменяющееся во времени. Чтобы числа были удобнее для восприятия, предположим, что напряжение изменяется от 0 до 4,095 В. Отметим, что на блок схеме устройство разбито на две части: устройство выборки/хранения S/H и аналого-цифровой преобразователь ADC. Такое разбиение на две части соответствует теоретической модели аналого-цифрового преобразования.

Устройство выборки/хранения необходимо для поддержания уровня входного сигнала постоянным в течение времени преобразования. На рис.2.1b изображен сигнал на выходе устройства выборки/хранения, который изменяется только в определенные периодически повторяющиеся моменты времени, остальное время он остается неизменным. Таким образом, при выборке сигнала (sampling) независимая переменная (время) из непрерывной превращается в дискретную.

Как показано на рис.2.1c, АЦП вырабатывает цифровой сигнал, в котором каждому плоскому участку на кривой рис. 2.1b соответствует целое число из диапазона 0 – 4095. При этом вносится некоторая ошибка, поскольку количество чисел в диапазоне ограничено, а уровни плоских участков могут быть любыми. Например, двум участкам 2.1b с уровнями 2,5600 В и 2,5602 В будет на рис.2.1c поставлено в соответствие число 2560. Другими словами, квантование (quantization) превращает зависимую переменную (напряжение) из непрерывной в дискретную.

Рис.2.1

Мы намеренно не сравнивали рис. 2.1а срис.2.1с, поскольку здесь присутствуют оба эффекта. Раздельное рассмотрение целесообразно потому, что выборка и квантование вносят в сигнал различные искажения и управляются разными параметрами электроники. Кроме того, они не всегда используются вместе. Например, выборка без квантования используется в фильтрах на переключаемых конденсаторах.

Рассмотрим сначала влияние квантования. Любая из выборок в квантованном сигнале может иметь ошибку максимум на ±1/2 LSB (Least Significant Bit – термин для обозначения разности между соседними уровнями квантования). На рис.2.1d показана ошибка квантования для рассматриваемого примера, найденная путем вычитания кривой рис.2.1b из кривой рис.2.1c. Другими словами, цифровой сигнал рис.2.1c равен неквантованному сигналу рис.2.1b плюс ошибка квантования с рис.2.1d. Важно отметить, что ошибка квантования проявляется очень похоже на случайный шум.

Это определяет очень важную особенность ошибки квантования. Во многих случаях квантование не более, чем добавление определенного количества случайного шума к сигналу. Аддитивный шум равномерно распределен в пределах ±1/2 LSB, имеет нулевое среднее значение и стандартное отклонение 1/√12 LSB (0,29 LSB). Например, при прохождении сигнала через 8-разрядный квантователь к нему добавляется случайный шум с с.к.о. 0,29/256, т.е. примерно 1/900 от полной шкалы, 12-разрядный АЦП добавляет шум 0,29/4096≈1/14000, а 16-разрядный - 0,29/65536≈1/227000. Поскольку ошибка квантования является случайным шумом, число разрядов определяет случайную ошибку выходных данных.

Такое представление шума квантования очень плодотворно, поскольку случайный шум, генерируемый при квантовании, просто добавляется к шуму, уже содержащемуся в сигнале. Для примера представим входной сигнал с амплитудой 1,0 В содержит случайный шум со среднеквадратическим значением 1,0 мВ. 8-разрядное преобразование представляет 1,0 В числом 256, а 1,0 мВ составляет 0,255 LSB. Как известно, объединение случайных сигналов осуществляется путем сложения их дисперсий. Таким образом, общий шум цифрового сигнала будет равен √(0,255²+0,29²)=0,386 LSB. То есть, 8-разрядное преобразование увеличивает шум на 50%, но уже 12-разрядное преобразование практически ничего не добавляет к шуму и качество информации не ухудшается. При решении: сколько разрядов нужно в системе, ответьте на два вопроса: 1) Сколько шума уже содержится во входном сигнале? 2) Сколько шума можно допустить в выходном сигнале?

Когда такая модель шума неприемлема? Тогда, когда его нельзя считать случайным. Представим, что входной сигнал не изменяется на протяжении ряда последовательных выборок (См. рис. 2.2а) или даже изменяется в пределах ±1/2 LSB. При этом на выходе сигнал представляется одним и тем же числом, а ошибка квантования выглядит не как случайный шум, а как проявления некоторого порогового эффекта или странных искажений. Dithering является распространенным способом улучшения квантования таких медленноменяющихся сигналов. Как показано на рис.2.2 к сигналу добавляется небольшой случайный шум. В этом примере добавлен шум с с.к.о. 2/3 LSB и размахом примерно 3 LSB.

На рис. 2.2с показано, как добавления шума сказывается на выходном сигнале: даже при изменении входного сигнала в пределах ±1/2 LSB выходной случайным образом переключается между соседними состояниями.

Чтобы понять, как это улучшает качество преобразования, представим, что входной сигнал является постоянным напряжением 3,0001 В. Без зашумления взятие 10000 выборок даст нам 10000 одинаковых чисел 3000. После добавления шума выходные числа меняются, причем 90% из них будут равны 3000, а 10% - равны 3001. Усреднив выходной сигнал по по 10000 выборкам, получим результат близкий к 3000,1. Хотя одиночное преобразование имеет точность, ограниченную ±1/2 LSB, статистика может сделать его много лучше. На первый взгляд это парадоксальная ситуация: добавление шума обеспечивает больше информации.

Рис.2.2

Реализация зашумления может быть совершенно необычной. Можно, например, генерировать случайные числа на компьютере, затем, используя ЦАП, преобразовывать их в случайный шум и добавлять его к сигналу. После аналого-цифрового преобразования компьютер может вычесть эти случайные числа из выходной информации АЦП, используя арифметику с плавающей точкой. Этот элегантный способ, называемый subtractive dither, используется в сложных системах. Более простой способ заключается в использовании шума, уже имеющегося в сигнале.

2.2 Теорема отсчетов [Д10]

Определение необходимого числа выборок можно объяснить очень просто. Предположим, что некоторым образом берутся выборки аналогового сигнала. Если по этим выборкам можно точно восстановить аналоговый сигнал, выборки были сделаны правильно.

На рис.2.3 показаны несколько синусоид a)…d) с разными частотами до и после дискретизации. Сплошная линия представляет сигнал на входе АЦП, квадратным маркером помечены отсчеты на его выходе. На a) аналоговый сигнал постоянен (с нулевой частотой). Поскольку аналоговый сигнал представляет собой прямые отрезки, соединяющие отсчеты, то вся информация, необходимая для его восстановления, содержится в цифровых данных, т.е. отсчеты сделаны правильно.

Рис.2.3

Синусоида, показанная на b), имеет частоту 0,09 от частоты выборки. Это можно представить, например, как синусоиду с частотой 90 Гц, выборки которой берутся с частотой 1000 Гц, т.е. на каждом периоде синусоиды делаются 11,1 выборки. Этот случай сложнее предыдущего, поскольку аналоговый сигнал не может быть реконструирован простым соединением отсчетов прямыми линиями. Правильно ли взяты выборки в этом случае? Ответ положителен, поскольку не существует другой синусоиды или комбинации синусоид (в рамках изложенных ниже ограничений), которые бы могли создать такое сочетание величин отсчетов. Только одна единственная синусоида с частотой 0,09 может быть их источником, поэтому и этот сигнал может быть восстановлен по отсчетам.

В случае c) частота синусоиды повышена до 0,31 от частоты выборки, т.е. на период синусоиды приходится только 3,2 отсчета. Здесь выборки настолько редки, что по ним трудно проследить тренд аналогового сигнала. Правильно ли взяты выборки в этом случае? Опять “да” и по тем же причинам – совокупность выборок является уникальным представлением аналогового сигнала. Вся информация, необходимая для реконструкции сигнала, содержится в цифровых данных. О том, как это сделать, будет сказано ниже.

В случае d) частота сигнала еще повышена до 0,95 от частоты выборки, т.е. на период приходится только 1,05 отсчета. Правильно ли взяты выборки в этом случае? Конечно же нет! Эта совокупность отсчетов может соответствовать различным синусоидам. В частности, по рисунку отсчетов видно, что они принадлежат синусоиде с частотой 0,05 от частоты выборки (хотя взяты из сигнала с частотой 0,95). Это явление изменения частоты синусоид при взятии отсчетов называется переносом спектра (aliasing). По совокупности отсчетов можно сделать ложный вывод о наличии в сигнале синусоиды, которой в действительности там нет. Поскольку цифровые данные больше не представляют уникально определенный сигнал, его реконструкция по ним невозможна. В цифровых данных нет информации, принадлежат ли отсчеты синусоиде с частотой 0,05 или с частотой 0,95 от частоты выборки, частота синусоиды скрыта. В соответствии со сделанным выше определением выборки сигнала взяты неправильно.

Эти рассуждения привели нас к одному из основных положений в цифровой обработке сигналов – к теореме отсчетов. Часто ее называют теоремой отсчетов Шеннона (Shannon) или теоремой отсчетов Найквиста (Nyquist) или теоремой Котельникова. Теорема отсчетов гласит, что непрерывный сигнал может быть адекватно представлен совокупностью отсчетов только в том случае, если не содержит компонент на частотах выше половины частоты выборки. Т.е. необходима частота выборки 2000 Гц для квантования сигнала, содержащего компоненты до 1000 Гц, если сигнал содержит компоненты с более высокими частотами, они будут перенесены в диапазон от 0 до 1000 Гц, сложатся с имеющимися там компонентами, исказят информацию и сделают восстановление сигнала невозможным.

При обсуждении теоремы отсчетов широко используется термин: частота Найквиста, однако он не имеет стандартного определения и может иметь различное значение. Наиболее часто под частотой Найквиста понимают половину частоты выборки.

На рис.2.4 показано, как частотные компоненты изменяются при переносе спектра. Ключевое положение, которое необходимо помнить – цифровой сигнал не может содержать частотных компонент выше половины частоты выборки (частоты Найквиста). Когда все частотные компоненты аналогового сигнала лежат ниже частоты Найквиста, они адекватно отображаются в цифровом сигнале. Однако, если в аналоговом сигнале присутствуют компоненты с более высокими частотами, они создают ложные образы (alias) в том частотном диапазоне, который может быть представлен совокупностью отсчетов. Как показано зигзагообразной линией на рис.2.4, компоненты с частотами выше частоты Найквиста создают ложные образы с частотами от нуля до половины частоты выборки. Если на этих частотах уже есть компоненты, ложные компоненты складываются с ними, т.е. информация теряется и о высших частотных компонентах и о низших.

Предположим, что в цифровом сигнале содержится компонента с частотой 0,2 от частоты выборки. Она должна формироваться от соответствующей компоненты аналогового сигнала с той же частотой, однако она может также возникнуть от бесконечного ряда компонент с частотами 0,8, 1,2, 1,8, 2,2 … от частоты выборки, причем фазы компонент с частотами в диапазонах от 0,5 до 1,0, от 1,5 до 2,0 и т.д. инвертированы.

На рис.2.5а показан пример аналогового сигнала. Его спектр изображен на рис.2.5b. Из рис. 2.5b видно, что сигнал содержит компоненты в диапазоне от 0 до 0,33f_s, где f_s – планируемая частота выборки. Это, например, может быть речевой сигнал, из которого предварительной фильтрацией удалены все компоненты с частотами выше 3,3 кГц, а f_s в таком случае 10 кГц.

Рис.2.4

Этот сигнал квантуется последовательностью дельта-импульсов. Между импульсами величина сигнала равна нулю (рис.2.5с). Спектр квантованного сигнала приведен на рис.2.5d. Спектр содержит множество копий спектра исходного сигнала, воспроизведенных у частоты квантования f_s и ее гармоник 2f_s, 3f_s, 4f_s и.т.д., причем исходный спектр воспроизводится как справа от f_s, так и слева (зеркальная копия исходного спектра). Почему это происходит?

Спектр последовательности дельта-импульсов так же представляет собой последовательность дельта-импульсов, то есть последовательности бесконечно узких импульсов единичной высоты, генерируемых во временной области с частотой f_s, в частотной области соответствует ряд спектральных линий единичной высоты расположенных на частотах f_s, 2f_s, 3f_s, 4f_s и т.д. Взятие выборок можно представить как перемножение исходного сигнала с последовательностью дельта импульсов. При перемножении сигналов спектр произведения определяется сверткой исходных спектров.

Рис.2.5

Итак, взятие отсчетов приводит к генерации новых частотных компонент и изменению спектра исходного сигнала. Возникает вопрос – правильно ли производится квантование? В случае рис.2.5с ответ положителен, поскольку сигнал можно восстановить, пропустив его через фильтр нижних частот и удалив все компоненты с частотами выше f_s/2. Т.е. аналоговый фильтр нижних частот может преобразовать цепочку импульсов рис.2.5с обратно в исходный аналоговый сигнал рис.2.5а.

На рис.2.5e показан пример неправильного квантования (слишком низкой частоты выборки). Аналоговый сигнал все так же содержит компоненты с частотами выше 3,3 кГц, но в этом случае f_s всего 5 кГц. Отметим, что частоты f_s, 2f_s, 3f_s, 4f_s и т.д. на рис.2.5f сдвинуты на горизонтальной оси ближе, чем на рис.2.5d. Из рис. 2.5f видна проблема: частотные спектры основной и репродуцированный перекрываются, а это значит, компоненты из их перекрывающихся частей складываются, формируя искаженную информацию. Поскольку нет средств для разделения перекрывающихся частотных компонент из этой смеси, информация о сигнале безвозвратно утеряна и сигнал невозможно восстановить. Такое перекрытие спектров имеет место, когда сигнал содержит в спектре компоненты с частотами, большими половины частоты квантования.