Уравнение Лапласа

Рассмотрим еще одно важное качество дисперсных систем, связанное с раздробленностью – резкое увеличение кривизны поверхности частиц по сравнению с плоскостью.

За счет кривизны поверхности жидкой дисперсной фазы возникает избыточное внутримолекулярное давление (рис. 2.6):

, (2.18)

где – разность давлений над искривленной поверхностью () и давлением над плоской поверхностью ().

Равнодействующая сил поверхностного натяжения как векторная величина компенсируется силой , которая направлена к центру частицы и перпендикулярна ее поверхности.

Рис. 2.6. Схема образования
избыточного внутреннего давления

В результате искривления поверхности совершается работа , которая приводит к уменьшению объема тела на величину dV.

. (2.19)

Выразим изменение поверхностной энергии через энергию Гиббса при условии :

, (2.20)

где Т – температура; S – энтропия; р – давление; V – объем; s – площадь поверхности; – поверхностное натяжение; – химический потенциал i- го компонента; n_i – число моль i -го компонента; – электрический потенциал; q – количество электричества.

При постоянных T, p, , q и в условии равновесия () имеем

, (2.21)

тогда

. (2.22)

Величину называют кривизной поверхности.

· для сферической поверхности: ;

· для цилиндрической поверхности: ;

· для частиц произвольной формы: ,

где и – главные радиусы кривизны поверхности.

Получим уравнение, связывающее избыточное внутримолекулярное давление с радиусом кривизны поверхности r:

· для сферической поверхности:

; (2.23)

· для цилиндрической поверхности:

; (2.24)

· для частиц произвольной формы:

. (2.25)

Уравнения (2.23)–(2.25) представляет собой закон капиллярного давления Лапласа для сферической, цилиндрической поверхностей и поверхности произвольной формы. Кривизна поверхности может быть положительной и отрицательной.

Если центр окружности находится внутри тела (рис. 2.7), то кривизна поверхности считается положительной , тогда > 0 – выпуклая поверхность, дополнительное избыточное давление увеличивает внутреннее давление жидкости (сжимает ее).

Знак «+» в уравнении Лапласа для выпуклой поверхности:

.

Если центр окружности находится вне тела (рис. 2.8), то кривизна поверхности считается отрицательной , тогда < 0 – вогнутая поверхность, дополнительное избыточное давление уменьшает внутреннее давление жидкости (растягивает ее).

Знак «–» в уравнении Лапласа для вогнутой поверхности:

.

Рис. 2.7. Схема образования избыточного давления для поверхности с положительной кривизной	Рис. 2.8. Схема образования избыточного давления для поверхности с отрицательной кривизной