2015-06-05
496
Разностная схема для эллиптического уравнения
Постановка задачи
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения
y
1
D 
0 
1 x
с краевыми условиями
Будем считать, что правая часть дифференциального уравнения 
и функции , , , удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и единственность гладкого решения 
задачи (1) - (2).
Разностная схема
Построим разностную схему - разностный аналог дифференциальной задачи (1) - (2).
Выполним следующие шаги:
1) Область непрерывного изменения аргументов 
заменим дискретным множеством точек – сеткой 
, 
Точки 
называются узлами сетки 
, 
и 
называются шагами сетки по оси 
и 
, соответственно. Узел 
сетки будем обозначать 
. Обозначим множество внутренних узлов сетки через 
и через 
- множество граничных узлов.
Сетку 
можно представить в виде
где 
, 
.
Замечание. При реализации метода сеток шагиобычно выбирают согласованно. Поэтому сетка и обозначена через .
2) Все функции в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим сеточными функциями - функциями, определенными в узлах сетки . Сеточную функцию обозначим через 
Проекцию функции 
на сетку обозначим через 
|
|
|
3) Производные в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим разностными отношениями – сходящимися формулами численного дифференцирования:
В результате получим систему линейных алгебраических уравнений:
(3)
Система (3) называется разностной схемой - разностным (дискретным) аналогом дифференциальной задачи (1) – (2).
Для построения разностной схемы (3) используется пять точек – пяти-точечный шаблон:
 |
Введем пространства сеточных функций 
и 
.
где 
Теперь разностную схему (3) можно записать в виде операторного уравнения
где 
