2015-06-05
992
Разностная схема (4) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) - (2) на ее решении 
если
при 
.
Разность 
называется невязкой.
Покажем, что невязка 
при .
Так как
то, заменяя здесь 
и 
соответствующими разложениями решения 
по формуле Тейлора в точке 
:
получаем
Следовательно, 
и разностная схема (4) обладает свойством аппроксимации.
Разностная схема (4) называется устойчивой, если для достаточно малых шагов сетки 
и 
выполнены условия:
1) Для любой сеточной функции 
уравнение 
имеет единственное решение 
(существует обратный оператор 
).
2) Существует константа 
, независящая от 
( и 
), такая, что для решения 
уравнения имеет место неравенство
(норма обратного оператора равномерно по ограничена константой : 
).
Замечание. Условие 2) определения устойчивости разностной схемы принято называть условием устойчивости.
Проверку устойчивости разностной схемы (4) разобьем на несколько этапов.
Предложение 1. Пусть сеточная функция 
определена на всей сетке 
и отлична от константы (не все координаты вектора равны одному и тому же числу). Пусть на множестве внутренних узлов сетки 
имеет место неравенство
Тогда сеточная функция принимает свое наибольшее значение в одном из граничных узлов сетки
Предложение 2. Пусть сеточная функция 
определена на всей сетке и отлична от константы. Пусть на множестве внутренних узлов сетки имеет место неравенство
Тогда сеточная функция принимает свое наименьшее значение в одном из граничных узлов сетки
Из Предложений 1 и 2 немедленно следует
Предложение 3. Если существуетсеточная функция 
определенная на всей сетке , такая, что на множестве внутренних узлов сетки имеет место равенство
то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на множестве граничных узлов 
Отсюда немедленно получаем выполнение условия 1) определения устойчивости разностной схемы. Действительно из предложения 3 следует, что однородная разностная схема 
для всех 
имеет только нулевое решение 
для всех 
Таким образом, неоднородное уравнение имеет единственное решение для любой сеточной функции 
Перейдем к доказательству условия устойчивости.
Заметим, что для любого многочлена второй степени
имеет место равенство
Положим
где 
Введем оператор 
:
Имеем
Рассмотрим разность 
где 
- решение разностной схемы.
Очевидно, что
Так как 
для 
то из Предложения 1 следует, что сеточная функция 
достигает своего наибольшего значения в одном из граничных узлов и, следовательно, 
или 
во всех узлах сетки .
Теперь рассмотрим сеточную функцию 
. Применив к этой функции оператор , получим
Так как 
для то из Предложения 2 следует, что сеточная функция 
достигает своего наименьшего значения в одном из граничных узлов и, следовательно, 
или 
во всех узлах сетки .
Таким образом,
во всех узлах сетки . Следовательно,
и условие устойчивости для разностной схемы (4) выполняется с константой 
.
По теореме Филиппова из аппроксимации и устойчивости разностной схемы получаем ее сходимость:
при ,
здесь 
- решение разностной схемы (3) (или что тоже самое (4)), 
- точное решение исходной дифференциальной задачи (1) – (2).
