2015-06-05
890
Лекция 3.
1. Интегралы вида 
(
, 
,… 
, 
, 
,… 
).
2.Интегралы вида 
(, ,… , , ,… ).
3. Интегралы вида 
, 
, 
.
4. Интеграл от дифференциального бинома 
(
, 
, 
, 
, 
).
1. Интегралы вида 
(, ,… , , ,… ). Через 
обозначается рациональная функция относительно 
т.е. выражение, которое получено из любых величин , а также действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.
В данных интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от 
. Они вычисляются подстановкой 
, где 
– общий знаменатель дробей 
, 
, …. При такой замене переменной все отношения 
, 
, … являются целыми числами, т.е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной 
:
.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Имеем:
.
2. Интегралы вида 
( , ,… , , ,… ). Интегралы данного типа подстановкой
,
где – общий знаменатель дробей , , …, сводятся к интегралам от рациональной функции переменной .
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Имеем
.
3. Интегралы вида , , .
Для вычисления интеграла 
выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка 
, 
.
В результате этот интеграл сводится к табличному:
.
Для вычисления интеграла 
в числителе интеграла выделяется производная выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
,
где – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла 
сводится к вычислению интеграла подстановкой:
, 
.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Имеем
.
4. Интегралы вида 
. Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Иногда для вычисления данного интеграла используются тригонометрические подстановки.
Квадратный трехчлен 
путем выделения полного квадрата и замены переменной можно представить в виде 
. Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
, 
,
.
Интеграл подстановкой 
(или 
) сводится к интегралу от рациональной функции относительно 
и 
.
Интеграл подстановкой 
(или 
) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .
Интеграл подстановкой 
(или 
) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Имеем
.
5. Интегралы вида (, , 
, , 
).
Интегралы вида (, , , , ), называются интегралами от дифференциального бинома 
. Эти интегралы выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если 
, то используется подстановка , где – общий знаменатель дробей и ;
2) если 
, то используется подстановка 
, где – знаменатель дроби 
;
3) если 
, то используется подстановка 
, где – знаменатель дроби .
Во всех остальных случаях, как было показано П.Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Имеем
.
Вопросы для самоконтроля
1. Как интегрируются интегралы вида 
, где , ,… , , ,… ?
2. Какая используется подстановка при интегрировании интегралов вида (, ,… , , ,… )?
3. Как интегрируются следующие интегралы , , ?
4. В каких случаях можно вычислить интеграл от дифференциального бинома (, , , , )?
5. Существуют ли интегралы, которые не выражаются через элементарные функции?
