Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Теорема 1. Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

,

где , , , , , , , , , , , , , , – некоторые действительные числа.

Без доказательства.

Согласно данному разложению, линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби первого и второго типов, а квадратным множителям – третьего и четвертого типов. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби. Формула разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя .

Пример. Разложить на элементарные дроби

Решение. Выделим из неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель

.

Разложим полученную в результате дробь на элементарные слагаемые:

.

Тогда .

Для нахождения коэффициентов разложения, чаще всего используется метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем.

- Раскладываем правильную рациональную дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

- Простейшие дроби приводим к общему знаменателю .

- Многочлен, получившийся в числителе, приравниваем к многочлену .

- Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов были равны. Учитывая это, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов , , …, , , , …, , , , …, , , , …., .

Пример. Для предыдущего примера, имеем

.

Приведем к общему знаменателю в правой части

.

Отсюда

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов , , , .

,

,

,

.

Отсюда , , , .

Следовательно,

.

Метод частных значений.При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях , можно дать переменной несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов). Тогда получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Этот метод удобно применять в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда последовательно полагают равным каждому из корней знаменателя.

Пример. Разложить рациональную дробь на простейшие.

Решение. Поскольку , имеем

.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получим:

.

Отсюда:

.

Придавая последовательно частные значения, равные корням , и , получим:

, , .

Отсюда , , .

Таким образом,

.

Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т.е. придавать ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях .