2015-06-05
748
Определение 2. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
1)  , | 2)   , |
3)  , | 4)  . |
Здесь 
, 
, 
, 
, 
, 
– действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, т.е. 
.
Простейшие дроби первого типа интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
.
Дроби второго типа интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
.
Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:
.
При интегрировании простейшей рациональной дроби четвертого типа 
сделаем замену переменной, положив 
. Откуда 
и:
,
где 
.
Тогда
.
Вычислим интеграл 
:
.
Для вычисления интеграла 
, представим его в виде
Замечая, что 
, получаем
.
Вычисление интеграла 
осуществляется с помощью метода интегрирования по частям:
Подставляя найденный интеграл, имеем
.
Данная формула является рекуррентной. Зная табличный интеграл
,
находятся интегралы 
, 
.
В частности при 
имеем
.
