Методы численного моделирования электромагнитного поля (не изучаем)

Приближённое решение краевых задач для дифференциальных уравне ний с частными производными заключается в алгебраизации задачи, т.е. в таком выборе определённой аппроксимации решения и дифференци ального оператора, при котором неизвестные коэффициенты в принятой аппроксимации решения определяются из системы алгебраических урав нений. Приближённые методы развивались независимо, и часто одинако вые либо подобные методы имели разные названия. Развитие математи ческого обеспечения привело к необходимости унификации методов ана лиза полей с целью обеспечения возможности создания и использования библиотек подпрограмм, разрабатываемых для реализации этих методов.

В последнее время общей теоретической базой почти всех методов, применяемых для расчета распределений электромагнитных полей; стал метод взвешенных невязок, который позволяет относительно просто из менить метод решения краевой задачи без общей перестройки структуры системы математического обеспечения.

Основные идеи метода взвешенных невязок таковы: решение аппрок симируется полной последовательностью функций, дифференцируемых нужное число раз, затем вводят весовые функции, образующие замкну тую систему. С их помощью получают уравнения для определения коэф фициентов аппроксимации.

В зависимости от выбора последовательности весовых функций полу чают различные варианты метода взвешенных невязок:

1. Метод точечной коллокации.

2. Метод моментов.

3. Метод коллокации в подобластях.

4. Метод Галеркина,

5. Метод наименьших квадратов.

6. Метод коллокации на границе.

7. Метод Треффца.

8. Метод, использующий особое решение.

Одним из самых эффективных методов является метод конечных раз ностей или, как его часто называют, метод сеток, который является од ним из наиболее широко применяемых методов решения начальных, краевых или начально-краевых задач для дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных "производных).

Метод конечных разностей предполагает дискретизацию исходной не прерывной задачи на предварительно введённой в расчетной области сетке, т.е. замену системой алгебраических уравнений, которая в свою очередь, решается численными методами алгебры.

Аппроксимация на сетке функций, а также производных, входящих в дифференциальное уравнение, называется их разностной аппроксима цией.

В общем случае погрешность аппроксимации на сетке дифференциаль ного оператора разностным оператором определяется в каждом конкрет ном случае в отдельности.

Математические модели многих задач расчёта электромагнитного поля можно получить в виде краевых задач математической физики. Если поле описывается уравнением Лапласа или Пуассона и область его существо вания однородна, получение разностной схемы, как правило, не вызывает затруднений.

Метод конечных элементов -— частный случай метода Галеркина. Он базируется на особом способе построения пространства приближённых решений. Исследуемая область G разбивается на элементы с выделен ными точками, называемыми узлами сетки конечных элементов. Эле менты могут иметь общие границы и узлы. После чего формируются матрицы элементов и связности, с помощью которых и производиться расчёт.

Метод бесконечных элементов. Во многих задачах технической элек тродинамики существует необходимость учёта неограниченной воздуш ной области без источников. С этой целью вводят бесконечные элементы либо используют метод граничных элементов. Выделяют две области: ог раниченную внутреннюю, в которой разбиение на элементы и способ формирования матриц элементов остаются без изменений;

неограниченную внешнюю, в которой справедливо уравнение Лапласа относительно потенциала А (либо Uв осесимметричной системе коорди нат).

Метод граничных элементов представляет собой соединение двух концепций решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, т.е. сведения краевых задач к эквивалентным интегральным уравнениям и аппроксимации решений при помощи функ ций формы, подобных используемым в методе конечных элементов.

Известны два способа введения граничных интегральных уравнений в задачах расчёта электромагнитного поля. Первый способ базируется на концепции простого либо двойного слоя «поверхностного заряда». Он применяется в работах, посвящённых расчёту электромагнитного поля, в связи с возможностью физической интерпретации (поверхностные токи, поверхностные заряды, дипольный слой). Второй способ — более фор мальный (базируется на использовании симметричной формулы Грина либо метода взвешенных невязок), «прямой» и представляет больше воз можностей унификации теоретических основ метода. Решение следую щих из него интегральных уравнений можно просто алгоритмизировать, что имеет большое значение при разработке программного обеспечения метода граничных элементов. Основные достоинства «прямого» метода граничных элементов — это уменьшение на единицу размерности задачи; значительное упрощение анализа поля в неограниченных областях; возможность исключения части области, в которой нет необходимости опре делять распределение поля; относительно простое вычисление поля на границе области либо на границах подобластей, что имеет существенное значение в том случае, когда необходимо определить только лишь инте гральные параметры, а не распределение поля.

Недостаток метода граничных элементов — оперирование полными несимметричными матрицами с коэффициентами, вычисляемыми путём численного интегрирования.

Особое значение получил в последние годы гибридный метод, т. е. соединение метода граничных элементов и метода конечных элементов. Этот метод будет в ближайшем будущем доминирующим способом ана лиза электромагнитного поля, учитывая характер задач технической электродинамики.

Независимо от вида рассматриваемого поля — электрического или магнитного, постоянного или переменного — существует два типа крае вых задач.

Сформулируем задачу первого типа. Заданы источники поля, конфигу рация областей и электрофизические характеристики сред, в которых не обходимо рассчитать поле. На границах областей к краевые условия не известны. Области к — одно- или многосвязанные.

В общем случае нужно рассчитать поле внутри всех областей 1с, удовле творив при этом условиям на бесконечности и условиям непрерывности на границах областей. Как правило, в неограниченной области прихо дится решать уравнения Лапласа, а в ограниченных — уравнения Лап ласа, Пуассона, Гельмгольца или Фурье.

Тип уравнения в областях существования поля зависит от рода источ ников поля, электрофизических характеристик сред и вида рассчитывае мого поля. Применяют следующие расчётные схемы.

1. В неограниченной области используют метод граничных элементов (МГЭ), а в ограниченных областях — метод конечных элементов (МКЭ) или метод конечных разностей (МКР).

2. В неограниченной области применяют метод бесконечных элементов (МБЭ), а в ограниченных областях — МКЭ или МКР.

3. В неограниченной области и в ограниченных областях используют МГЭ.

4. В неограниченной области используют аналитические методы, а в ограниченных областях — МКЭ или МКР,

Наиболее распространены две первые схемы, так как уже имеется раз витое программное обеспечение.

Задача расчета поля существенно упрощается, если в ограниченных об ластях выполняются некоторые условия симметрии.

Если в вышеупомянутых областях не выполняются условия симметрии, задача расчёта поля является сложной. Схема её аналитического решения может быть такой:

1. Для расчёта нужно выбрать векторы, имеющие наименьшее количе ство составляющих.

2. Обеспечить выполнение условий непрерывности на границах раздела сред.

3. Решить уравнения.

4. Учесть условия на бесконечности.

Схема численного решения задачи включает в себя первых три пункта, но может иметь, например, следующий вид:

1. В ограниченных областях сформировать уравнения по МКЭ.

2. Влияние неограниченного пространства учесть с помощью метода граничных элементов.

3. Объединить полученные уравнения в одну систему.

4. Решить систему уравнений.

Если m=const¹m₀, то алгоритмы расчёта поля остаются такими же, за исключением процедур выполнения условий непрерывности, если m¹const, — используют итерационные процедуры. Если ввиду симметрии известны краевые условия на границе области, то применяют МКЭ или МКР.